ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 240 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
a) \(\frac{5x}{x+2}\);
б) \(\frac{-2x}{x-1}\);
в) \(\frac{2x}{5-x}\);
г) \(\frac{x-3}{2-x}\).

а) \(\frac{5x}{x+2} = \frac{5x + 10 — 10}{x+2} = \frac{5(x+2) — 10}{x+2} = 5 — \frac{10}{x+2}\)

б) \(\frac{-2x}{x-1} = \frac{-2x + 2 — 2}{x-1} = \frac{-2(x-1) — 2}{x-1} = -2 — \frac{2}{x-1}\)

в) \(\frac{2x}{5-x} = \frac{10 — 2x — 10}{5-x} = \frac{2(5-x) — 10}{5-x} = 2 — \frac{10}{5-x}\)

г) \(\frac{x-3}{2-x} = \frac{x-2 — 1}{2-x} = \frac{-(2-x) — 1}{2-x} = -1 — \frac{1}{2-x}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{5x}{x+2}\). Чтобы упростить дробь, прибавляем и вычитаем одно и то же число в числителе, чтобы выделить общий множитель. Записываем числитель как \(5x + 10 — 10\), что эквивалентно исходному числителю, так как \(+10 — 10 = 0\). Далее группируем первые два слагаемых: \(5x + 10 = 5(x+2)\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{5(x+2) — 10}{x+2}\).

Поскольку \(x+2\) — общий множитель в числителе и знаменателе, дробь раскладываем на сумму: \(\frac{5(x+2)}{x+2} — \frac{10}{x+2}\). Первая часть сокращается до 5, так как \(\frac{5(x+2)}{x+2} = 5\). В итоге получаем выражение \(5 — \frac{10}{x+2}\), что и есть упрощённая форма исходной дроби.

б) Рассматриваем дробь \(\frac{-2x}{x-1}\). Аналогично первому примеру, добавляем и вычитаем 2 в числителе: \(-2x + 2 — 2\), что не меняет значения. Группируем первые два слагаемых: \(-2x + 2 = -2(x-1)\). Дробь переписываем как \(\frac{-2(x-1) — 2}{x-1}\).

Разделяем дробь на две части: \(\frac{-2(x-1)}{x-1} — \frac{2}{x-1}\). Первая часть сокращается до \(-2\), так как \(\frac{-2(x-1)}{x-1} = -2\). В итоге упрощённое выражение принимает вид \(-2 — \frac{2}{x-1}\).

в) Исходное выражение \(\frac{2x}{5-x}\) преобразуем, чтобы выделить общий множитель в числителе. Представляем числитель как \(10 — 2x — 10\), что равно исходному \(2x\), так как \(10 — 10 = 0\). Далее группируем: \(10 — 2x = 2(5-x)\). Получаем \(\frac{2(5-x) — 10}{5-x}\).

Дробь разбиваем на сумму: \(\frac{2(5-x)}{5-x} — \frac{10}{5-x}\). Первая часть сокращается до 2, так как \(\frac{2(5-x)}{5-x} = 2\). Итоговое выражение: \(2 — \frac{10}{5-x}\).

г) Выражение \(\frac{x-3}{2-x}\) преобразуем путём выделения разности. Переписываем числитель как \(x-2 — 1\), что равносильно исходному, так как \(-2 — 1 = -3\). Тогда дробь становится \(\frac{x-2 — 1}{2-x}\).

Обращаем внимание, что \(x-2 = -(2-x)\), следовательно, \(\frac{x-2 — 1}{2-x} = \frac{-(2-x) — 1}{2-x}\). Разбиваем дробь на две части: \(\frac{-(2-x)}{2-x} — \frac{1}{2-x}\). Первая часть равна \(-1\), так как \(\frac{-(2-x)}{2-x} = -1\). Итоговое выражение: \(-1 — \frac{1}{2-x}\).