ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 241 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких целых \(n\) значение дроби является целым числом:
a) \(\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}\);
б) \(\frac{(n-3)^2}{n}\);
в) \(\frac{3n}{n+2}\);
г) \(\frac{7n}{n-4}\).

а) \(\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}, \quad n = \pm 1, \pm 3.\)

б) \(\frac{(n — 3)^2}{n} = \frac{n^2 — 6n + 9}{n} = \frac{n^2}{n} — \frac{6n}{n} + \frac{9}{n} = n — 6 + \frac{9}{n}, \quad n = \pm 1, \pm 3, \pm 9.\)

в) \(\frac{3n}{n + 2} = \frac{3n + 6 — 6}{n + 2} = \frac{3(n + 2) — 6}{n + 2} = 3 — \frac{6}{n + 2},\)

\(n + 2 = -1, \quad n + 2 = 1, \quad n + 2 = -2, \quad n + 2 = 2\)

\(n = -3, \quad n = -1, \quad n = -4, \quad n = 0\)

\(n + 2 = -3, \quad n + 2 = 3, \quad n + 2 = -6, \quad n + 2 = 6\)

\(n = -5, \quad n = 1, \quad n = -8, \quad n = 4\)

\(n = \pm 1, \pm 4, 0, -3, -5, -8.\)

г) \(\frac{7n}{n — 4} = \frac{7n — 28 + 28}{n — 4} = \frac{7(n — 4)}{n — 4} + \frac{28}{n — 4} = 7 + \frac{28}{n — 4},\)

\(n — 4 = -1, \quad n — 4 = 1, \quad n — 4 = -2, \quad n — 4 = 2\)

\(n = 3, \quad n = 5, \quad n = 2, \quad n = 6\)

\(n — 4 = -4, \quad n — 4 = 4, \quad n — 4 = -7, \quad n — 4 = 7\)

\(n = 0, \quad n = 8, \quad n = -3, \quad n = 11\)

\(n — 4 = -14, \quad n — 4 = 14, \quad n — 4 = -28, \quad n — 4 = 28\)

\(n = -10, \quad n = 18, \quad n = -24, \quad n = 32\)

\(n = 0, \pm 3, 2, 5, 6, 8, 11, -10, 18, -24, 32.\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}\). Для упрощения дроби нужно разделить каждый член числителя на знаменатель \(n\). Это возможно, так как \(n \neq 0\). Разделим по частям: \(\frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n}\). При делении степеней с одинаковой основой вычитаем показатели степени, поэтому \(\frac{5n^2}{n} = 5n^{2-1} = 5n\), а \(\frac{2n}{n} = 2\). Последний член остаётся в виде \(\frac{3}{n}\), так как \(3\) — число, а \(n\) — переменная в знаменателе.

Таким образом, выражение упрощается до \(5n + 2 + \frac{3}{n}\). При этом важно помнить, что \(n\) не может быть равен нулю, иначе выражение не имеет смысла. В условии указано, что \(n = \pm 1, \pm 3\), то есть эти значения допустимы и не приводят к делению на ноль.

б) Рассмотрим дробь \(\frac{(n — 3)^2}{n}\). Раскроем квадрат в числителе: \((n — 3)^2 = n^2 — 6n + 9\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{n^2 — 6n + 9}{n}\). Чтобы упростить, разделим каждый член числителя на \(n\), что даёт \(\frac{n^2}{n} — \frac{6n}{n} + \frac{9}{n}\). Применяя правило степеней, получаем \(n — 6 + \frac{9}{n}\). Здесь также важно, что \(n \neq 0\), чтобы избежать деления на ноль. По условию \(n = \pm 1, \pm 3, \pm 9\), что исключает ноль и подходит для данного выражения.

в) Исходное выражение \(\frac{3n}{n + 2}\) преобразуем, добавляя и вычитая 6 в числителе: \(3n + 6 — 6\). Это позволяет представить числитель как \(3(n + 2) — 6\). Тогда дробь становится \(\frac{3(n + 2) — 6}{n + 2}\). Теперь можно разделить на две дроби: \(\frac{3(n + 2)}{n + 2} — \frac{6}{n + 2}\). Первая дробь упростится до 3, так как числитель и знаменатель совпадают. Итог: \(3 — \frac{6}{n + 2}\). Далее подставляем значения \(n + 2 = -1, 1, -2, 2\), что даёт \(n = -3, -1, -4, 0\), а также \(n + 2 = -3, 3, -6, 6\), дающие \(n = -5, 1, -8, 4\). Все эти значения удовлетворяют исходному выражению, кроме тех, что обнуляют знаменатель.

г) Рассмотрим \(\frac{7n}{n — 4}\). Для упрощения представим числитель как \(7n — 28 + 28\), что равно \(7(n — 4) + 28\). Тогда дробь перепишется как \(\frac{7(n — 4)}{n — 4} + \frac{28}{n — 4}\). Первая часть упростится до 7, так как числитель и знаменатель совпадают, а вторая останется \(\frac{28}{n — 4}\). В итоге получаем \(7 + \frac{28}{n — 4}\). Далее подставляем значения \(n — 4 = -1, 1, -2, 2, -4, 4, -7, 7, -14, 14, -28, 28\). Отсюда находим \(n = 3, 5, 2, 6, 0, 8, -3, 11, -10, 18, -24, 32\). Все эти значения подходят для выражения, кроме тех, что приводят к нулю в знаменателе.