ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 242 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите такие значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется тождество:
a) \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\);
б) \(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\).

а) \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\)
\(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}\)
\(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{ax + 3a + bx — 2b}{(x-2)(x+3)}\)
\(5x = x(a+b) + (3a — 2b)\)
\(\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a — 2b = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 — b \\ 3(5 — b) — 2b = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 — b \\ 15 — 3b — 2b = 0 \end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases} a = 5 — b \\ 5b = 15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 3 \\ a = 5 — 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}\)

б) \(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\)
\(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) — b(x-5)}{(x-5)(x+2)}\)
\(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{ax + 2a — bx + 5b}{(x-5)(x+2)}\)
\(5x + 31 = x(a — b) + (2a + 5b)\)
\(\begin{cases} a — b = 5 \\ 2a + 5b = 31 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 + b \\ 2(5 + b) + 5b = 31 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 + b \\ 10 + 2b + 5b = 31 \end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases} a = 5 + b \\ 7b = 21 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 3 \\ a = 5 + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 8 \\ b = 3 \end{cases}\)

а) Начинаем с разложения дроби \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)}\) на сумму простых дробей с неизвестными коэффициентами \(a\) и \(b\): \(\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\). Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю \((x-2)(x+3)\), получая равенство \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}\). Приравниваем числители: \(5x = a(x+3) + b(x-2)\).

Раскрываем скобки в правой части: \(a(x+3) + b(x-2) = ax + 3a + bx — 2b = x(a+b) + (3a — 2b)\). Таким образом, уравнение принимает вид \(5x = x(a+b) + (3a — 2b)\). Для равенства многочленов коэффициенты при одинаковых степенях переменной должны совпадать, значит \(a + b = 5\) и \(3a — 2b = 0\).

Решаем систему уравнений: из первого уравнения выражаем \(a = 5 — b\) и подставляем во второе: \(3(5 — b) — 2b = 0\), что упрощается до \(15 — 3b — 2b = 0\) или \(5b = 15\). Отсюда \(b = 3\), а \(a = 5 — 3 = 2\). Получаем \(a = 2\), \(b = 3\).

б) Рассматриваем дробь \(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)}\) и раскладываем её в виде \(\frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\). Приводим правую часть к общему знаменателю: \(\frac{a(x+2) — b(x-5)}{(x-5)(x+2)}\). Приравниваем числители: \(5x + 31 = a(x+2) — b(x-5)\).

Раскрываем скобки: \(a(x+2) — b(x-5) = ax + 2a — bx + 5b = x(a — b) + (2a + 5b)\). Значит, уравнение принимает вид \(5x + 31 = x(a — b) + (2a + 5b)\). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: \(a — b = 5\) и \(2a + 5b = 31\).

Решаем систему: из первого уравнения \(a = 5 + b\), подставляем во второе: \(2(5 + b) + 5b = 31\), что даёт \(10 + 2b + 5b = 31\), или \(7b = 21\). Следовательно, \(b = 3\), а \(a = 5 + 3 = 8\). Итог: \(a = 8\), \(b = 3\).