Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 243 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — bx + ab} \cdot \frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}\)
б) \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} \cdot \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\)
а) \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx} = \frac{a(a + x) + b(a + x)}{a(a — x) — b(a — x)} = \frac{a + b}{a — b}\),
\(\frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab} = \frac{a(a — x) + b(a — x)}{a(a + x) — b(a + x)} = \frac{a — b}{a + b}\),
\(\frac{a(a — x) + b(a — x)}{a(a + x) — b(a + x)} : \frac{a(a + x) + b(a + x)}{a(a — x) — b(a — x)} = \frac{(a + x)(a + b) \cdot (a — x)(a + b)}{(a — x)(a — b) \cdot (a + x)(a — b)} = \frac{(a + b)^2}{(a — b)^2}\).
б) \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} = \frac{x(x — b) + a(x — b)}{x(x + b) — a(x + b)} = \frac{x — b}{x + b}\),
\(\frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab} = \frac{x(x + b) + a(x + b)}{x(x — b) — a(x — b)} = \frac{x + b}{x — b}\),
\(\frac{x(x + b) + a(x + b)}{x(x — b) — a(x — b)} : \frac{x(x — b) + a(x — b)}{x(x + b) — a(x + b)} = \frac{(x — b)(x + a) \cdot (x — b)(x — a)}{(x + b)(x — a) \cdot (x + b)(x + a)} = \frac{(x — b)^2}{(x + b)^2}\).
а) Начинаем с выражения \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx}\). В числителе группируем слагаемые по \(a\) и \(b\): \(a^2 + ax = a(a + x)\), \(ab + bx = b(a + x)\). Значит числитель равен \(a(a + x) + b(a + x) = (a + b)(a + x)\). Аналогично в знаменателе \(a^2 — ax — ab + bx = a(a — x) — b(a — x) = (a — b)(a — x)\). Таким образом, первая дробь упрощается до \(\frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)}\).
Далее рассмотрим вторую дробь \(\frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}\). Аналогично группируем: числитель \(a^2 — ax — bx + ab = a(a — x) + b(a — x) = (a + b)(a — x)\), знаменатель \(a^2 + ax — bx — ab = a(a + x) — b(a + x) = (a — b)(a + x)\). Значит вторая дробь равна \(\frac{(a + b)(a — x)}{(a — b)(a + x)}\).
Теперь делим первую дробь на вторую: \(\frac{\frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)}}{\frac{(a + b)(a — x)}{(a — b)(a + x)}} = \frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)} \cdot \frac{(a — b)(a + x)}{(a + b)(a — x)}\). Сокращаем одинаковые множители, остаётся \(\frac{(a + b)^2}{(a — b)^2}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab}\). В числителе группируем по \(x\) и \(a\): \(x^2 — bx = x(x — b)\), \(ax — ab = a(x — b)\), значит числитель равен \(x(x — b) + a(x — b) = (x + a)(x — b)\). В знаменателе \(x^2 + bx — ax — ab = x(x + b) — a(x + b) = (x — a)(x + b)\). Таким образом, дробь равна \(\frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)}\).
Далее смотрим вторую дробь \(\frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\). В числителе \(x^2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) = (x + a)(x + b)\), в знаменателе \(x^2 — bx — ax + ab = x(x — b) — a(x — b) = (x — a)(x — b)\). Значит вторая дробь равна \(\frac{(x + a)(x + b)}{(x — a)(x — b)}\).
Теперь делим первую дробь на вторую: \(\frac{\frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)}}{\frac{(x + a)(x + b)}{(x — a)(x — b)}} = \frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)} \cdot \frac{(x — a)(x — b)}{(x + a)(x + b)}\). Сокращаем одинаковые множители, остаётся \(\frac{(x — b)^2}{(x + b)^2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!