ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 243 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — bx + ab} \cdot \frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}\)
б) \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} \cdot \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\)

а) \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx} = \frac{a(a + x) + b(a + x)}{a(a — x) — b(a — x)} = \frac{a + b}{a — b}\),
\(\frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab} = \frac{a(a — x) + b(a — x)}{a(a + x) — b(a + x)} = \frac{a — b}{a + b}\),
\(\frac{a(a — x) + b(a — x)}{a(a + x) — b(a + x)} : \frac{a(a + x) + b(a + x)}{a(a — x) — b(a — x)} = \frac{(a + x)(a + b) \cdot (a — x)(a + b)}{(a — x)(a — b) \cdot (a + x)(a — b)} = \frac{(a + b)^2}{(a — b)^2}\).

б) \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} = \frac{x(x — b) + a(x — b)}{x(x + b) — a(x + b)} = \frac{x — b}{x + b}\),
\(\frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab} = \frac{x(x + b) + a(x + b)}{x(x — b) — a(x — b)} = \frac{x + b}{x — b}\),
\(\frac{x(x + b) + a(x + b)}{x(x — b) — a(x — b)} : \frac{x(x — b) + a(x — b)}{x(x + b) — a(x + b)} = \frac{(x — b)(x + a) \cdot (x — b)(x — a)}{(x + b)(x — a) \cdot (x + b)(x + a)} = \frac{(x — b)^2}{(x + b)^2}\).

а) Начинаем с выражения \(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx}\). В числителе группируем слагаемые по \(a\) и \(b\): \(a^2 + ax = a(a + x)\), \(ab + bx = b(a + x)\). Значит числитель равен \(a(a + x) + b(a + x) = (a + b)(a + x)\). Аналогично в знаменателе \(a^2 — ax — ab + bx = a(a — x) — b(a — x) = (a — b)(a — x)\). Таким образом, первая дробь упрощается до \(\frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)}\).

Далее рассмотрим вторую дробь \(\frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}\). Аналогично группируем: числитель \(a^2 — ax — bx + ab = a(a — x) + b(a — x) = (a + b)(a — x)\), знаменатель \(a^2 + ax — bx — ab = a(a + x) — b(a + x) = (a — b)(a + x)\). Значит вторая дробь равна \(\frac{(a + b)(a — x)}{(a — b)(a + x)}\).

Теперь делим первую дробь на вторую: \(\frac{\frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)}}{\frac{(a + b)(a — x)}{(a — b)(a + x)}} = \frac{(a + b)(a + x)}{(a — b)(a — x)} \cdot \frac{(a — b)(a + x)}{(a + b)(a — x)}\). Сокращаем одинаковые множители, остаётся \(\frac{(a + b)^2}{(a — b)^2}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab}\). В числителе группируем по \(x\) и \(a\): \(x^2 — bx = x(x — b)\), \(ax — ab = a(x — b)\), значит числитель равен \(x(x — b) + a(x — b) = (x + a)(x — b)\). В знаменателе \(x^2 + bx — ax — ab = x(x + b) — a(x + b) = (x — a)(x + b)\). Таким образом, дробь равна \(\frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)}\).

Далее смотрим вторую дробь \(\frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\). В числителе \(x^2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) = (x + a)(x + b)\), в знаменателе \(x^2 — bx — ax + ab = x(x — b) — a(x — b) = (x — a)(x — b)\). Значит вторая дробь равна \(\frac{(x + a)(x + b)}{(x — a)(x — b)}\).

Теперь делим первую дробь на вторую: \(\frac{\frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)}}{\frac{(x + a)(x + b)}{(x — a)(x — b)}} = \frac{(x + a)(x — b)}{(x — a)(x + b)} \cdot \frac{(x — a)(x — b)}{(x + a)(x + b)}\). Сокращаем одинаковые множители, остаётся \(\frac{(x — b)^2}{(x + b)^2}\).