Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 244 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что если \(m \neq n\), \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\), то значение выражения
\(\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2}\)
не зависит от значений переменных.
\(2 : \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2}{mn} : \left( \frac{m-n}{mn} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} =\)
\(= \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2 n^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2 n^2}{(m-n)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2 m n}{(m-n)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \)
\(= \frac{2 m n — (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{- (m^2 — 2 m n + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1.\)
\(2 : \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \)
Сначала преобразуем выражение в скобках. Разность дробей \(\frac{1}{m} — \frac{1}{n}\) приводим к общему знаменателю: \(\frac{n}{mn} — \frac{m}{mn} = \frac{n — m}{mn}\). Теперь возводим это выражение в квадрат: \(\left(\frac{n — m}{mn}\right)^2 = \frac{(n — m)^2}{m^2 n^2}\).
Деление на это выражение можно переписать как умножение на обратное, тогда исходное выражение перепишется так: \(2 : \frac{(n — m)^2}{m^2 n^2} = 2 \cdot \frac{m^2 n^2}{(n — m)^2}\). При этом знаменатель \(m^2 n^2\) и числитель 2 остаются в виде произведения.
Теперь перепишем все выражение с учетом этого преобразования и вычтем вторую дробь: \(2 \cdot \frac{m^2 n^2}{(n — m)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m — n)^2}\). Обратите внимание, что \((n — m)^2 = (m — n)^2\), поэтому знаменатели одинаковые, что позволяет объединить дроби: \(\frac{2 m^2 n^2 — (m^2 + n^2)}{(m — n)^2}\).
Далее упростим числитель: \(2 m^2 n^2 — m^2 — n^2\). Чтобы упростить выражение, представим \(2 m^2 n^2\) как сумму и разность, и рассмотрим разложение по формуле квадрата разности: \(m^2 — 2 m n + n^2 = (m — n)^2\). Перепишем числитель в виде \(- (m^2 — 2 m n + n^2)\), так как \(2 m n\) здесь заменяет часть выражения.
В итоге числитель становится \(- (m — n)^2\), а знаменатель остается \((m — n)^2\). Поэтому выражение упрощается до \(\frac{-(m — n)^2}{(m — n)^2} = -1\).
Таким образом, исходное выражение равно \(-1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!