ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 244 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если \(m \neq n\), \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\), то значение выражения
\(\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2}\)
не зависит от значений переменных.

\(2 : \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2}{mn} : \left( \frac{m-n}{mn} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} =\)
\(= \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2 n^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2 n^2}{(m-n)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \frac{2 m n}{(m-n)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \)
\(= \frac{2 m n — (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{- (m^2 — 2 m n + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1.\)

\(2 : \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} = \)
Сначала преобразуем выражение в скобках. Разность дробей \(\frac{1}{m} — \frac{1}{n}\) приводим к общему знаменателю: \(\frac{n}{mn} — \frac{m}{mn} = \frac{n — m}{mn}\). Теперь возводим это выражение в квадрат: \(\left(\frac{n — m}{mn}\right)^2 = \frac{(n — m)^2}{m^2 n^2}\).

Деление на это выражение можно переписать как умножение на обратное, тогда исходное выражение перепишется так: \(2 : \frac{(n — m)^2}{m^2 n^2} = 2 \cdot \frac{m^2 n^2}{(n — m)^2}\). При этом знаменатель \(m^2 n^2\) и числитель 2 остаются в виде произведения.

Теперь перепишем все выражение с учетом этого преобразования и вычтем вторую дробь: \(2 \cdot \frac{m^2 n^2}{(n — m)^2} — \frac{m^2 + n^2}{(m — n)^2}\). Обратите внимание, что \((n — m)^2 = (m — n)^2\), поэтому знаменатели одинаковые, что позволяет объединить дроби: \(\frac{2 m^2 n^2 — (m^2 + n^2)}{(m — n)^2}\).

Далее упростим числитель: \(2 m^2 n^2 — m^2 — n^2\). Чтобы упростить выражение, представим \(2 m^2 n^2\) как сумму и разность, и рассмотрим разложение по формуле квадрата разности: \(m^2 — 2 m n + n^2 = (m — n)^2\). Перепишем числитель в виде \(- (m^2 — 2 m n + n^2)\), так как \(2 m n\) здесь заменяет часть выражения.

В итоге числитель становится \(- (m — n)^2\), а знаменатель остается \((m — n)^2\). Поэтому выражение упрощается до \(\frac{-(m — n)^2}{(m — n)^2} = -1\).

Таким образом, исходное выражение равно \(-1\).