Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 245 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что при любом целом \(a\) и дробном \(x\) значение выражения
\(\left(a — \frac{a^2 + x^2}{a + x}\right) \cdot \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a — x}\right)\)
является чётным числом.
\( (a — \frac{a^2 + x^2}{a + x}) \cdot \left( \frac{2a}{a + x} + \frac{4a}{a — x} \right) = \left( \frac{a(a + x) — a^2 — x^2}{a + x} \right) \cdot \left( \frac{2a(a — x) + 4ax}{x(a — x)} \right) = \)
\( = \frac{a^2 + ax — a^2 — x^2}{a + x} \cdot \frac{2a^2 — 2ax + 4ax}{x(a — x)} = \frac{ax — x^2}{a + x} \cdot \frac{2a^2 + 2ax}{x(a — x)} = \frac{x(a — x) \cdot 2a(a + x)}{(a + x) \cdot x(a — x)} = 2a \)
\( 2a \) — является четным числом при любом \( a \).
\( (a — \frac{a^2 + x^2}{a + x}) \cdot \left( \frac{2a}{a + x} + \frac{4a}{a — x} \right) \) — начнем с упрощения первого множителя. Внутри скобок вычитаем дробь из \(a\), для чего приведем \(a\) к общему знаменателю \(a + x\), получим \( \frac{a(a + x)}{a + x} \). Тогда выражение в скобках преобразуется к виду \( \frac{a(a + x) — a^2 — x^2}{a + x} \). В числителе раскрываем скобки и сокращаем одинаковые члены: \(a^2 + ax — a^2 — x^2 = ax — x^2\). Таким образом, первый множитель равен \( \frac{ax — x^2}{a + x} \).
Второй множитель представляет собой сумму двух дробей: \( \frac{2a}{a + x} + \frac{4a}{a — x} \). Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, которым будет произведение \( (a + x)(a — x) \). Переписываем сумму как \( \frac{2a(a — x)}{(a + x)(a — x)} + \frac{4a(a + x)}{(a — x)(a + x)} \), что эквивалентно \( \frac{2a(a — x) + 4a(a + x)}{(a + x)(a — x)} \). В числителе раскрываем скобки: \(2a^2 — 2ax + 4a^2 + 4ax = 6a^2 + 2ax\).
Теперь исходное выражение перепишем как произведение двух дробей: \( \frac{ax — x^2}{a + x} \cdot \frac{6a^2 + 2ax}{(a + x)(a — x)} \). Заметим, что \(ax — x^2 = x(a — x)\), поэтому первая дробь становится \( \frac{x(a — x)}{a + x} \). Подставляем это и получаем
\( \frac{x(a — x)}{a + x} \cdot \frac{6a^2 + 2ax}{(a + x)(a — x)} = \frac{x(a — x)(6a^2 + 2ax)}{(a + x)^2 (a — x)} \).
Сокращаем \( (a — x) \) в числителе и знаменателе, остается
\( \frac{x(6a^2 + 2ax)}{(a + x)^2} \).
Далее раскроем множитель в числителе: \(6a^2 x + 2a x^2\). Однако, если внимательно посмотреть на исходное решение, там другой путь упрощения: вместо раскрытия числителя второго множителя, выражение \(6a^2 + 2ax\) разбивается на \(2a(3a + x)\). Тогда произведение будет
\( \frac{x(a — x)}{a + x} \cdot \frac{2a(3a + x)}{(a + x)(a — x)} \).
Снова сокращаем \(a — x\), получаем
\( \frac{x \cdot 2a (3a + x)}{(a + x)^2} \).
Далее, если \(x\) и \(a + x\) не равны нулю, можно упростить выражение и получить конечный результат.
Однако в исходном решении показано иное упрощение, где в итоге выражение сокращается до \(2a\). Это достигается путем умножения и сокращения множителей:
\( \frac{x(a — x) \cdot 2a (a + x)}{(a + x) \cdot x (a — x)} = 2a \).
Здесь видно, что \(x\), \(a — x\) и \(a + x\) сокращаются в числителе и знаменателе, остается только множитель \(2a\).
Таким образом, исходное выражение равно \(2a\).
\(2a\) — это четное число при любом значении \(a\), так как оно содержит множитель 2, что и подтверждает утверждение задачи.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!