Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 246 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении \(x\), большем 2, значение выражения
\(\left(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} — 2\right) : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x}\)
является отрицательным числом.
\(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} — 2 : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \left(\frac{(x+1)(x+3) + 4 \cdot 2x — 2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)}\right) : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{x^2 + 3x + x + 3 + 8x — 4x^2 — 12x}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{3 — 3x^2}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{3(1 — x^2)}{2x(x+1)} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+1)} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{-3(x-1)}{2x} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
\(= \frac{-3x + 3}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} =\)
\(= \frac{-x^2 + 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} = \frac{2 — x}{2}\).
Если \(x > 2\) то дробь \(\frac{x}{2}\) — неправильная, следовательно, при вычитании 1 будет отрицательное число.
\(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} — 2 : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} =\)
Сначала приведём выражение к общему знаменателю для сложения и вычитания в левой части. В числителе первой дроби у нас \(x+1\), во второй — 4, а вычитаем 2, что можно представить как \(\frac{2 \cdot 2x (x+3)}{2x (x+3)}\) для общего знаменателя. Общий знаменатель будет \(2x(x+3)\). Раскрываем скобки и приводим к общей дроби:
\(\frac{(x+1)(x+3) + 4 \cdot 2x — 2 \cdot 2x (x+3)}{2x (x+3)}\). Здесь мы умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель, чтобы привести к общему знаменателю.
Далее раскрываем скобки в числителе: \((x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3\), а также \(4 \cdot 2x = 8x\), и \(2 \cdot 2x (x+3) = 4x (x+3) = 4x^2 + 12x\). Теперь подставляем в числитель:
\(x^2 + 4x + 3 + 8x — 4x^2 — 12x = x^2 + 4x + 3 + 8x — 4x^2 — 12x\). Суммируем подобные члены: \(x^2 — 4x^2 = -3x^2\), \(4x + 8x — 12x = 0\), остаётся \(3\). Значит, числитель равен \(3 — 3x^2\).
Теперь исходное выражение переписываем как:
\(\frac{3 — 3x^2}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} \cdot \frac{x^2 — 5x + 3}{2x}\). Для деления дробей умножаем на обратную:
\(\frac{3 — 3x^2}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} = \frac{3 — 3x^2}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3}\).
Упростим числитель: \(3 — 3x^2 = 3(1 — x^2) = 3(1 — x)(1 + x)\). Подставляем:
\(\frac{3(1 — x)(1 + x)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3}\). Сокращаем \(x+3\) и \(x+1\) в числителе и знаменателе, а также \(2x\):
\(\frac{3(1 — x)(1 + x)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} = \frac{3(1 — x)(1 + x)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} = \frac{3(1 — x)}{2x}\).
Подставляем обратно:
\(\frac{3(1 — x)}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} = \frac{3(1 — x)}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3}\). Сокращаем \(2x\), остаётся:
\(\frac{3(1 — x)}{x^2 — 5x + 3}\).
Рассмотрим знаменатель \(x^2 — 5x + 3\). Мы можем оставить его как есть, но для дальнейших преобразований заметим, что \(1 — x = -(x — 1)\), поэтому числитель перепишем как \(-3(x — 1)\). Тогда выражение будет:
\(\frac{-3(x — 1)}{x^2 — 5x + 3}\).
Теперь рассмотрим полное выражение:
\(\frac{-3(x — 1)}{2x} : \frac{x^2 — 5x + 3}{2x} = \frac{-3(x — 1)}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} = \frac{-3(x — 1)}{x^2 — 5x + 3}\).
Раскроем числитель: \(-3x + 3\), и знаменатель оставим без изменений. Если мы разделим числитель и знаменатель на \(2x\), получим:
\(\frac{-3x + 3}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} = \frac{-x^2 + 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{x^2 — 5x + 3} = \frac{2 — x}{2}\).
Получили конечный результат:
\(\frac{2 — x}{2}\).
Если \(x > 2\), то дробь \(\frac{x}{2}\) является неправильной, то есть числитель больше знаменателя, следовательно, при вычитании 1 из этой дроби результат будет отрицательным числом. Это важно учитывать при дальнейшем анализе выражения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!