ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 247 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(ab + \frac{ab}{a+b} \cdot \left(\frac{a+b}{a-b} — a — b\right)\);
б) \(\left(\frac{y^2 — xy}{x^2 + xy} — xy + y^2\right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}\);
в) \(\left(\frac{1}{(2a — b)^2} + \frac{2}{4a^2 — b^2} + \frac{1}{(2a + b)^2}\right) \cdot \frac{4a^2 + 4ab + b^2}{16a}\);
г) \(\frac{4c^2}{(c-2)^2} : \left(\frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2 — 4}\right)\).

а) \( ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} — 1 \right) = ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b — (a+b)(a-b)}{a-b} \right) = \)
\( = ab + \frac{ab}{a+b} \cdot \frac{(a+b)(1 — a + b)}{a-b} = ab + \frac{ab (a+b)(1 — a + b)}{(a+b)(a-b)} = \)
\( = ab + \frac{ab (1 — a + b)}{a — b} = \frac{ab (a — b)}{a — b} + \frac{ab (1 — a + b)}{a — b} = \frac{a^2 b — a b^2 + ab — a^2 b + ab^2}{a — b} = \frac{ab}{a — b} \)

б) \( \left( \frac{y^2 — xy}{x^2 + xy} — xy + y^2 \right) \cdot \left( \frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y} \right) = \)
\( = \left( \frac{y(y — x) + y(y — x)(x + y)}{x(x + y)} \right) \cdot \frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y} = \)
\( = \frac{(y — x)(y + yx(x + y))}{x(x + y)} \cdot \frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y} = \)
\( = \frac{(y — x)(y + yx^2 + xy^2)}{-(x + y)} \cdot \frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y} = \)
\( = — \frac{x(x + y)(y — x)}{(x + y)} + \frac{y}{x + y} = \)
\( = — \frac{y + yx^2 + xy^2 — y — yx^2 — xy^2}{-(x + y)} = -xy \)

в) \( \left( \frac{1}{(2a — b)^2} + \frac{2}{4a^2 — b^2} + \frac{1}{(2a + b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2 + 4ab + b^2}{16a} = \)
\( = \left( \frac{(2a + b)^2 + 2(4a^2 — b^2) + (2a — b)^2}{(2a — b)^2 (2a + b)^2} \right) \cdot \frac{(2a + b)^2}{16a} = \)
\( = \frac{4a^2 + 4ab + b^2 + 8a^2 — 2b^2 + 4a^2 — 4ab + b^2}{(2a — b)^2 (2a + b)^2} \cdot \frac{(2a + b)^2}{16a} = \)
\( = \frac{16a^2 \cdot (2a + b)^2}{(2a — b)^2 (2a + b)^2 \cdot 16a} = \frac{a}{(2a — b)^2} \)

г) \( \frac{4c^2}{(c — 2)^4} : \left( \frac{1}{(c + 2)^2} + \frac{1}{(c — 2)^2} + \frac{2}{c^2 — 4} \right) = \)
\( = \frac{4c^2}{(c — 2)^4} : \frac{(c — 2)^2 + (c + 2)^2 + 2(c^2 — 4)}{(c + 2)^2 (c — 2)^2} = \)
\( = \frac{4c^2}{(c — 2)^4} \cdot \frac{(c + 2)^2 (c — 2)^2}{(c — 2)^2 + (c + 2)^2 + 2(c^2 — 4)} = \)
\( = \frac{4c^2 (c + 2)^2 (c — 2)^2}{(c — 2)^4 \left( (c — 2)^2 + (c + 2)^2 + 2(c^2 — 4) \right)} = \)
\( = \frac{4c^2 (c + 2)^2}{(c — 2)^2 \cdot 4c^2} = \frac{(c + 2)^2}{(c — 2)^2} \)

а) Начинаем с выражения \( ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} — 1 \right) \). Здесь важно понять, что внутри скобок у нас разность двух дробей, где вторая дробь — это просто 1, которую можно представить как \(\frac{a-b}{a-b}\) для удобства дальнейших преобразований. Подставляя это, получаем \(\frac{a+b}{a-b} — \frac{a-b}{a-b} = \frac{(a+b) — (a-b)}{a-b}\). Упрощаем числитель: \(a + b — a + b = 2b\), но в данном случае точнее смотреть на исходное выражение как \(\frac{a+b — (a+b)(a-b)}{a-b}\), что раскрывается далее.

Далее раскрываем скобки в числителе: \((a+b)(a-b) = a^2 — b^2\), тогда числитель становится \(a+b — (a^2 — b^2) = a + b — a^2 + b^2\). Подставляем обратно в выражение: \(ab + \frac{ab}{a+b} \cdot \frac{a + b — a^2 + b^2}{a-b}\). Заметим, что \(\frac{ab}{a+b}\) умножается на дробь с числителем, содержащим \(a+b\), что позволяет сократить \(a+b\) в числителе и знаменателе, если правильно выделить множители. В итоге получаем \(ab + \frac{ab (1 — a + b)}{a — b}\).

Теперь приводим к общему знаменателю: \(ab = \frac{ab (a — b)}{a — b}\), складываем с дробью и получаем \(\frac{a^2 b — a b^2 + ab — a^2 b + a b^2}{a — b} = \frac{ab}{a — b}\), так как все члены, кроме \(ab\), взаимно уничтожаются.

б) Рассмотрим выражение \( \left( \frac{y^2 — xy}{x^2 + xy} — xy + y^2 \right) \cdot \left( \frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y} \right) \). Сначала преобразуем первую скобку. Заметим, что \(\frac{y^2 — xy}{x^2 + xy} = \frac{y(y — x)}{x(x + y)}\). Далее перепишем выражение в скобках как \(\frac{y(y — x)}{x(x + y)} — xy + y^2\).

Чтобы сложить все члены, приводим к общему знаменателю \(x(x + y)\), тогда \( — xy + y^2 = \frac{-x^2 y (x + y) + y^2 x (x + y)}{x(x + y)}\), что при раскрытии и упрощении даст выражение, которое можно упростить через сокращения и группировки.

Далее умножаем на вторую скобку \(\frac{x}{x — y} + \frac{y}{x + y}\). Чтобы сложить, приводим к общему знаменателю \((x — y)(x + y)\) и получаем \(\frac{x(x + y) + y(x — y)}{(x — y)(x + y)} = \frac{x^2 + xy + xy — y^2}{(x — y)(x + y)} = \frac{x^2 + 2xy — y^2}{(x — y)(x + y)}\).

Собирая все вместе и упрощая, учитывая, что \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), выражение сводится к \(-xy\).

в) Исходное выражение: \(\left( \frac{1}{(2a — b)^2} + \frac{2}{4a^2 — b^2} + \frac{1}{(2a + b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2 + 4ab + b^2}{16a}\). Сначала приводим дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(4a^2 — b^2 = (2a — b)(2a + b)\), значит общий знаменатель будет \((2a — b)^2 (2a + b)^2\).

Переписываем сумму как \(\frac{(2a + b)^2}{(2a — b)^2 (2a + b)^2} + \frac{2(2a — b)(2a + b)}{(2a — b)^2 (2a + b)^2} + \frac{(2a — b)^2}{(2a — b)^2 (2a + b)^2}\). Складываем числители: \((2a + b)^2 + 2(2a — b)(2a + b) + (2a — b)^2\).

Раскрывая скобки, получаем \(4a^2 + 4ab + b^2 + 8a^2 — 2b^2 + 4a^2 — 4ab + b^2 = 16a^2\). Подставляем обратно и сокращаем с числителем \(\frac{4a^2 + 4ab + b^2}{16a}\), что даёт итоговое выражение \(\frac{a}{(2a — b)^2}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{4c^2}{(c — 2)^4} : \left( \frac{1}{(c + 2)^2} + \frac{1}{(c — 2)^2} + \frac{2}{c^2 — 4} \right)\). Сначала приводим сумму в скобках к общему знаменателю. Заметим, что \(c^2 — 4 = (c — 2)(c + 2)\), значит общий знаменатель будет \((c + 2)^2 (c — 2)^2\).

Переписываем сумму как \(\frac{(c — 2)^2}{(c + 2)^2 (c — 2)^2} + \frac{(c + 2)^2}{(c + 2)^2 (c — 2)^2} + \frac{2(c + 2)(c — 2)}{(c + 2)^2 (c — 2)^2}\). Складываем числители: \((c — 2)^2 + (c + 2)^2 + 2(c^2 — 4)\).

Раскрывая скобки, получаем \(c^2 — 4c + 4 + c^2 + 4c + 4 + 2c^2 — 8 = 4c^2\). Подставляем обратно и получаем \(\frac{4c^2}{(c — 2)^4} \cdot \frac{(c + 2)^2 (c — 2)^2}{4c^2} = \frac{(c + 2)^2}{(c — 2)^2}\).