Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 248 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right)\);
б) \(\left(a — 1 — \frac{2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1 — a}\right)\).
а) \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right) =\)
\(= \frac{x(x+y) — 4xy + y(x+y)}{x+y} \cdot \frac{x(x-y) + 4xy — y(x-y)}{x-y} =\)
\(= \frac{x^2 + xy — 4xy + xy + y^2}{x+y} \cdot \frac{x^2 — xy + 4xy — xy + y^2}{x-y} =\)
\(= \frac{x^2 — 2xy + y^2}{x+y} \cdot \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y} =\)
\(= (x-y)(x+y) = x^2 — y^2\)
б) \(\left(a — \frac{1 — 2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1-a}\right) =\)
\(= \frac{a(1-a) — 1 + 2a^2 + 1 — a}{1-a} : \frac{1 — a — 1}{1-a} =\)
\(= \frac{a — a^2 — 1 + 2a^2 + 1 — a}{1-a} : \frac{-a}{1-a} = \frac{a^2}{1-a} : \frac{-a}{1-a} = \frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a} = -a\)
а) Начинаем с выражения \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right)\). Чтобы упростить произведение, приведём каждое выражение к общему знаменателю. В первом скобочном выражении общий знаменатель \(x + y\), во втором — \(x — y\). Переписываем числители: для первого — \(x(x+y) — 4xy + y(x+y)\), для второго — \(x(x-y) + 4xy — y(x-y)\). После раскрытия скобок и упрощения получаем числители \(x^2 + xy — 4xy + xy + y^2\) и \(x^2 — xy + 4xy — xy + y^2\).
Далее упрощаем числители: в первом выражении \(xy — 4xy + xy = -2xy\), во втором \( -xy + 4xy — xy = 2xy\). Получаем дроби \(\frac{x^2 — 2xy + y^2}{x+y}\) и \(\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}\). Умножаем эти дроби друг на друга, что равносильно умножению числителей и знаменателей: \(\frac{(x — y)^2}{x + y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x — y}\). Сокращаем на \(x + y\) и \(x — y\), остаётся произведение \((x — y)(x + y)\), что по формуле разности квадратов равно \(x^2 — y^2\).
б) Рассмотрим выражение \(\left(a — \frac{1 — 2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1 — a}\right)\). Сначала упростим числитель первой дроби: приводим к общему знаменателю \(1 — a\), получая \(\frac{a(1 — a) — (1 — 2a^2) + (1 — a)(1)}{1 — a}\). Раскрываем скобки: \(a — a^2 — 1 + 2a^2 + 1 — a\), что после упрощения даёт \(a^2\).
В знаменателе второй дроби выражение \(1 — \frac{1}{1 — a}\) приводим к общему знаменателю \(1 — a\), получаем \(\frac{(1 — a) — 1}{1 — a} = \frac{-a}{1 — a}\). Теперь делим первую дробь на вторую, что эквивалентно умножению первой на обратную вторую: \(\frac{a^2}{1 — a} \cdot \frac{1 — a}{-a} = \frac{a^2}{1 — a} \cdot \frac{1 — a}{-a}\). Сокращаем \(1 — a\), остаётся \(\frac{a^2}{-a} = -a\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!