ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 248 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right)\);
б) \(\left(a — 1 — \frac{2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1 — a}\right)\).

а) \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right) =\)
\(= \frac{x(x+y) — 4xy + y(x+y)}{x+y} \cdot \frac{x(x-y) + 4xy — y(x-y)}{x-y} =\)
\(= \frac{x^2 + xy — 4xy + xy + y^2}{x+y} \cdot \frac{x^2 — xy + 4xy — xy + y^2}{x-y} =\)
\(= \frac{x^2 — 2xy + y^2}{x+y} \cdot \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y} =\)
\(= (x-y)(x+y) = x^2 — y^2\)

б) \(\left(a — \frac{1 — 2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1-a}\right) =\)
\(= \frac{a(1-a) — 1 + 2a^2 + 1 — a}{1-a} : \frac{1 — a — 1}{1-a} =\)
\(= \frac{a — a^2 — 1 + 2a^2 + 1 — a}{1-a} : \frac{-a}{1-a} = \frac{a^2}{1-a} : \frac{-a}{1-a} = \frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a} = -a\)

а) Начинаем с выражения \(\left(x — \frac{4xy}{x+y} + y\right) \cdot \left(x + \frac{4xy}{x-y} — y\right)\). Чтобы упростить произведение, приведём каждое выражение к общему знаменателю. В первом скобочном выражении общий знаменатель \(x + y\), во втором — \(x — y\). Переписываем числители: для первого — \(x(x+y) — 4xy + y(x+y)\), для второго — \(x(x-y) + 4xy — y(x-y)\). После раскрытия скобок и упрощения получаем числители \(x^2 + xy — 4xy + xy + y^2\) и \(x^2 — xy + 4xy — xy + y^2\).

Далее упрощаем числители: в первом выражении \(xy — 4xy + xy = -2xy\), во втором \( -xy + 4xy — xy = 2xy\). Получаем дроби \(\frac{x^2 — 2xy + y^2}{x+y}\) и \(\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}\). Умножаем эти дроби друг на друга, что равносильно умножению числителей и знаменателей: \(\frac{(x — y)^2}{x + y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x — y}\). Сокращаем на \(x + y\) и \(x — y\), остаётся произведение \((x — y)(x + y)\), что по формуле разности квадратов равно \(x^2 — y^2\).

б) Рассмотрим выражение \(\left(a — \frac{1 — 2a^2}{1 — a} + 1\right) : \left(1 — \frac{1}{1 — a}\right)\). Сначала упростим числитель первой дроби: приводим к общему знаменателю \(1 — a\), получая \(\frac{a(1 — a) — (1 — 2a^2) + (1 — a)(1)}{1 — a}\). Раскрываем скобки: \(a — a^2 — 1 + 2a^2 + 1 — a\), что после упрощения даёт \(a^2\).

В знаменателе второй дроби выражение \(1 — \frac{1}{1 — a}\) приводим к общему знаменателю \(1 — a\), получаем \(\frac{(1 — a) — 1}{1 — a} = \frac{-a}{1 — a}\). Теперь делим первую дробь на вторую, что эквивалентно умножению первой на обратную вторую: \(\frac{a^2}{1 — a} \cdot \frac{1 — a}{-a} = \frac{a^2}{1 — a} \cdot \frac{1 — a}{-a}\). Сокращаем \(1 — a\), остаётся \(\frac{a^2}{-a} = -a\).