Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 249 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите тождество
\[
\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p+2q} = -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right).
\]
\( \frac{1}{p — 2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right) \)
\( \frac{1}{p — 2q} — \frac{6q}{(p — 2q)(p + 2q)} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 — 4q^2}{p^2 — 4q^2} \)
\( \frac{p + 2q — 6q — 2(p — 2q)}{p^2 — 4q^2} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2} \)
\( \frac{p — 4q — 2p + 4q}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \)
\( — \frac{p}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \) верно.
\( \frac{1}{p — 2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right) \)
В этом выражении сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю, чтобы упростить левую часть уравнения. Обратите внимание, что знаменатель второго слагаемого \(4q^2 — p^2\) можно записать как \(-(p^2 — 4q^2)\), а \(p^2 — 4q^2\) раскладывается на множители \((p — 2q)(p + 2q)\). Это позволит привести дроби к общему знаменателю, используя разложение на множители. Учитывая это, перепишем второе слагаемое, выделяя общий множитель в знаменателе.
\( \frac{1}{p — 2q} — \frac{6q}{(p — 2q)(p + 2q)} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 — 4q^2}{p^2 — 4q^2} \)
Далее, чтобы сложить дроби в левой части, приводим их к общему знаменателю \((p — 2q)(p + 2q) = p^2 — 4q^2\). Первая дробь умножается на \(\frac{p + 2q}{p + 2q}\), третья — на \(\frac{p — 2q}{p — 2q}\). После приведения к общему знаменателю числители складываем и упрощаем. В числителе получается выражение \(p + 2q — 6q — 2(p — 2q)\), которое раскрываем и упрощаем, чтобы получить итоговый числитель.
\( \frac{p + 2q — 6q — 2(p — 2q)}{p^2 — 4q^2} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2} \)
Раскрываем скобки в числителе: \(p + 2q — 6q — 2p + 4q\). Упрощаем, складывая подобные члены: \(p — 2p + 2q — 6q + 4q = -p + 0 = -p\). Таким образом, числитель равен \(-p\), а знаменатель остался \(p^2 — 4q^2\). Справа от знака равенства мы видим выражение \(- \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2}\), где множители \(2\) и \(\frac{1}{2}\) сокращаются, а \(p^2\) делится на \(p\), остаётся \(\frac{p}{p^2 — 4q^2}\).
\( \frac{p — 4q — 2p + 4q}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \)
В следующем шаге числитель выражения слева раскрывается и упрощается: \(p — 4q — 2p + 4q = -p\). Таким образом, левая часть упрощается до \(- \frac{p}{p^2 — 4q^2}\), что совпадает с правой частью выражения. Это доказывает, что исходное равенство верно.
\( — \frac{p}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \) верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!