ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 249 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество
\[
\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p+2q} = -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right).
\]

\( \frac{1}{p — 2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right) \)

\( \frac{1}{p — 2q} — \frac{6q}{(p — 2q)(p + 2q)} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 — 4q^2}{p^2 — 4q^2} \)

\( \frac{p + 2q — 6q — 2(p — 2q)}{p^2 — 4q^2} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2} \)

\( \frac{p — 4q — 2p + 4q}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \)

\( — \frac{p}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \) верно.

\( \frac{1}{p — 2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right) \)

В этом выражении сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю, чтобы упростить левую часть уравнения. Обратите внимание, что знаменатель второго слагаемого \(4q^2 — p^2\) можно записать как \(-(p^2 — 4q^2)\), а \(p^2 — 4q^2\) раскладывается на множители \((p — 2q)(p + 2q)\). Это позволит привести дроби к общему знаменателю, используя разложение на множители. Учитывая это, перепишем второе слагаемое, выделяя общий множитель в знаменателе.

\( \frac{1}{p — 2q} — \frac{6q}{(p — 2q)(p + 2q)} — \frac{2}{p + 2q} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 — 4q^2}{p^2 — 4q^2} \)

Далее, чтобы сложить дроби в левой части, приводим их к общему знаменателю \((p — 2q)(p + 2q) = p^2 — 4q^2\). Первая дробь умножается на \(\frac{p + 2q}{p + 2q}\), третья — на \(\frac{p — 2q}{p — 2q}\). После приведения к общему знаменателю числители складываем и упрощаем. В числителе получается выражение \(p + 2q — 6q — 2(p — 2q)\), которое раскрываем и упрощаем, чтобы получить итоговый числитель.

\( \frac{p + 2q — 6q — 2(p — 2q)}{p^2 — 4q^2} = — \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2} \)

Раскрываем скобки в числителе: \(p + 2q — 6q — 2p + 4q\). Упрощаем, складывая подобные члены: \(p — 2p + 2q — 6q + 4q = -p + 0 = -p\). Таким образом, числитель равен \(-p\), а знаменатель остался \(p^2 — 4q^2\). Справа от знака равенства мы видим выражение \(- \frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 — 4q^2}\), где множители \(2\) и \(\frac{1}{2}\) сокращаются, а \(p^2\) делится на \(p\), остаётся \(\frac{p}{p^2 — 4q^2}\).

\( \frac{p — 4q — 2p + 4q}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \)

В следующем шаге числитель выражения слева раскрывается и упрощается: \(p — 4q — 2p + 4q = -p\). Таким образом, левая часть упрощается до \(- \frac{p}{p^2 — 4q^2}\), что совпадает с правой частью выражения. Это доказывает, что исходное равенство верно.

\( — \frac{p}{p^2 — 4q^2} = — \frac{p}{p^2 — 4q^2} \) верно.