ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 25 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сокра- тите дробь:
а) \(\frac{2x}{3x^7}\)
б) \(\frac{15x}{25y}\)
в) \(\frac{6a}{24a^2}\)
г) \(\frac{7ab}{21bc}\)
д) \(\frac{-2xy}{5x^2y}\)
е) \(\frac{8x^2y^2}{24xy}\)

а) \( \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \) – общий множитель \( x \).

б) \( \frac{15x}{25y} = \frac{3x}{5y} \) – общий множитель 5.

в) \( \frac{6a}{24a} = \frac{1}{4} \) – общий множитель \( 6a \).

г) \( \frac{7ab}{21bc} = \frac{a}{3c} \) – общий множитель \( 7b \).

д) \( \frac{-2xy}{5x^2 y} = \frac{-2}{5x} \) – общий множитель \( xy \).

е) \( \frac{8x^2 y^2}{24xy} = \frac{xy}{3} \) – общий множитель \( 8xy \).

а) Рассмотрим выражение \( \frac{2x}{3x} \). Чтобы упростить дробь, нужно найти общий множитель числителя и знаменателя. В данном случае переменная \( x \) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Так как \( x \) — это общий множитель, его можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на \( x \). После сокращения остается дробь \( \frac{2}{3} \), что и является результатом упрощения. Таким образом, общий множитель — это \( x \), который мы убрали из дроби.

Сокращение на общий множитель позволяет упростить выражение, сделав его более компактным и удобным для дальнейших вычислений. Важно понимать, что сокращать можно только те множители, которые присутствуют и в числителе, и в знаменателе, чтобы дробь оставалась равной исходной.

б) В выражении \( \frac{15x}{25y} \) нужно найти общий множитель для числителя и знаменателя. Рассмотрим числовые коэффициенты: 15 и 25. Их наибольший общий делитель — 5. Значит, 5 можно вынести за скобки и сократить. Переменные \( x \) и \( y \) разные, поэтому их сокращать нельзя. Делим числитель и знаменатель на 5, получаем \( \frac{3x}{5y} \). Общий множитель здесь — число 5, которое мы выделили и сократили.

Такое сокращение помогает упростить дробь, сохраняя при этом переменные без изменений, так как они не совпадают. Это важный шаг при работе с дробями, где участвуют и числа, и переменные.

в) Рассмотрим дробь \( \frac{6a}{24a} \). Здесь числовые множители 6 и 24 имеют общий делитель 6, а переменная \( a \) есть и в числителе, и в знаменателе. Значит, можно сократить и числа, и переменную \( a \). Делим числитель и знаменатель на \( 6a \), что дает в результате \( \frac{1}{4} \). Общий множитель — это \( 6a \), который мы выделили и сократили.

Такое сокращение уменьшает выражение до простой дроби без переменных, что облегчает дальнейшие вычисления. Важно помнить, что переменные сокращаются только при совпадении в числителе и знаменателе.

г) В выражении \( \frac{7ab}{21bc} \) сначала смотрим на числовые коэффициенты 7 и 21. Наибольший общий делитель — 7, который можно вынести и сократить. Переменные \( a \), \( b \), \( c \) нужно рассмотреть отдельно. Переменная \( b \) есть и в числителе, и в знаменателе, значит её можно сократить. Переменная \( c \) присутствует только в знаменателе, поэтому её сокращать нельзя. В итоге сокращаем на \( 7b \), получаем \( \frac{a}{3c} \). Общий множитель — \( 7b \).

Такой подход позволяет максимально упростить дробь, аккуратно учитывая переменные, которые можно сократить, и те, которые остаются.

д) Рассмотрим дробь \( \frac{-2xy}{5x^2 y} \). Числовой множитель \(-2\) и \(5\) не имеют общего делителя, кроме 1, поэтому числовую часть сокращать нельзя. Переменные: \( x \) в числителе и \( x^2 \) в знаменателе. При сокращении степеней вычитаем показатели степени: \( x^{1} \) сокращается с \( x^{2} \), оставляя \( x^{1} \) в знаменателе. Переменная \( y \) есть и в числителе, и в знаменателе, значит её можно сократить полностью. В итоге общий множитель — \( xy \), и после сокращения получаем \( \frac{-2}{5x} \).

Такое сокращение с учётом степеней переменных требует внимательности, чтобы правильно вычесть показатели степени и не потерять важные элементы выражения.

е) В дроби \( \frac{8x^{2} y^{2}}{24xy} \) числовые множители 8 и 24 имеют общий делитель 8, который можно выделить и сократить. Переменные \( x^{2} \) и \( x \) сокращаются по степеням: \( x^{2} \) делится на \( x \), остаётся \( x^{1} \) в числителе. Аналогично с \( y^{2} \) и \( y \), остаётся \( y^{1} \) в числителе. После сокращения числителя и знаменателя на \( 8xy \) получаем \( \frac{xy}{3} \). Таким образом, общий множитель — \( 8xy \).

Это пример, когда сокращение происходит одновременно и с числовыми коэффициентами, и со степенями переменных, что требует аккуратного и последовательного подхода к упрощению дроби.