Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 250 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
\[
a^3 + b^3 + \left( \frac{b(a^3 + b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3.
\]
Докажите его.
\(a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)
\(a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 — \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)
\(a^3 + b^3 = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3} — \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3}\)
\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9) — b^3 (8a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9)}{(a^3 — b^3)^3}\)
\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} + 6a^9 b^3 + 6a^6 b^6 + 8a^3 b^9 — 8a^9 b^3 — 6a^6 b^6 -\) \(- 6a^3 b^9 — b^{12}\)
\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
\((a^6 — b^6)(a^6 — 2a^3 b^3 + b^6) = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
\(a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12} = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
\(0 = 0 \Rightarrow\) доказано.
\(a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)
Начинаем с исходного равенства, где выражение справа и слева связано через кубы дробей. Сначала раскрываем кубы в числителях и знаменателях, чтобы упростить выражение. Обращаем внимание, что знаменатель одинаковый — \(a^3 — b^3\), что позволит привести дроби к общему знаменателю и упростить разность кубов.
\(a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 — \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)
Переписываем правую часть как разность двух кубов дробей с одинаковым знаменателем, что позволяет записать это как разность кубов числителей, делённую на куб знаменателя. Это ключевой шаг, позволяющий перейти к общему знаменателю и объединить выражения.
\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^3 + 2b^3)^3 — b^3 (2a^3 + b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3}\)
Далее раскрываем кубы в числителях: возводим суммы в третью степень, используя формулу куба суммы, учитывая степени и коэффициенты. Это даёт многочлены девятой степени и ниже по степеням с переменными \(a\) и \(b\).
\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9) — b^3 (8a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9)}{(a^3 — b^3)^3}\)
Здесь раскрываем скобки и группируем подобные члены в числителе, учитывая знаки и степени. В результате получаем выражение, в котором видно, что некоторые члены взаимно сокращаются или уменьшают степень, что ведёт к упрощению.
\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} + 6a^9 b^3 + 6a^6 b^6 + 8a^3 b^9 — 8a^9 b^3 — 6a^6 b^6 — 6a^3 b^9 -\) \(- b^{12}\)
Объединяем подобные члены и упрощаем, замечая, что \(6a^9 b^3\) и \(-8a^9 b^3\), а также \(6a^6 b^6\) и \(-6a^6 b^6\) сокращаются, что приводит к более простому выражению.
\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
Теперь представляем левую часть как произведение \((a^3 + b^3)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2\), чтобы выделить разность кубов и связать с выражением справа.
\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
Используем формулу разности кубов и представляем \((a^3 — b^3)^2\) как \((a^6 — 2a^3 b^3 + b^6)\), что позволяет упростить произведение.
\((a^6 — b^6)(a^6 — 2a^3 b^3 + b^6) = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
Раскрыв скобки и применяя формулы сокращённого умножения, убеждаемся, что левая и правая части выражения совпадают, что доказывает равенство.
\(a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12} = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)
Отсюда следует, что \(0 = 0\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!