ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 250 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
\[
a^3 + b^3 + \left( \frac{b(a^3 + b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3.
\]
Докажите его.

\(a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)

\(a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 — \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)

\(a^3 + b^3 = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3} — \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3}\)

\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9) — b^3 (8a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9)}{(a^3 — b^3)^3}\)

\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} + 6a^9 b^3 + 6a^6 b^6 + 8a^3 b^9 — 8a^9 b^3 — 6a^6 b^6 -\) \(- 6a^3 b^9 — b^{12}\)

\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

\((a^6 — b^6)(a^6 — 2a^3 b^3 + b^6) = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

\(a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12} = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

\(0 = 0 \Rightarrow\) доказано.

\(a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)

Начинаем с исходного равенства, где выражение справа и слева связано через кубы дробей. Сначала раскрываем кубы в числителях и знаменателях, чтобы упростить выражение. Обращаем внимание, что знаменатель одинаковый — \(a^3 — b^3\), что позволит привести дроби к общему знаменателю и упростить разность кубов.

\(a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3 — \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3}\right)^3\)

Переписываем правую часть как разность двух кубов дробей с одинаковым знаменателем, что позволяет записать это как разность кубов числителей, делённую на куб знаменателя. Это ключевой шаг, позволяющий перейти к общему знаменателю и объединить выражения.

\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^3 + 2b^3)^3 — b^3 (2a^3 + b^3)^3}{(a^3 — b^3)^3}\)

Далее раскрываем кубы в числителях: возводим суммы в третью степень, используя формулу куба суммы, учитывая степени и коэффициенты. Это даёт многочлены девятой степени и ниже по степеням с переменными \(a\) и \(b\).

\(a^3 + b^3 = \frac{a^3 (a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9) — b^3 (8a^9 + 6a^6 b^3 + 6a^3 b^6 + b^9)}{(a^3 — b^3)^3}\)

Здесь раскрываем скобки и группируем подобные члены в числителе, учитывая знаки и степени. В результате получаем выражение, в котором видно, что некоторые члены взаимно сокращаются или уменьшают степень, что ведёт к упрощению.

\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} + 6a^9 b^3 + 6a^6 b^6 + 8a^3 b^9 — 8a^9 b^3 — 6a^6 b^6 — 6a^3 b^9 -\) \(- b^{12}\)

Объединяем подобные члены и упрощаем, замечая, что \(6a^9 b^3\) и \(-8a^9 b^3\), а также \(6a^6 b^6\) и \(-6a^6 b^6\) сокращаются, что приводит к более простому выражению.

\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)^3 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

Теперь представляем левую часть как произведение \((a^3 + b^3)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2\), чтобы выделить разность кубов и связать с выражением справа.

\(\left(a^3 + b^3\right)(a^3 — b^3)(a^3 — b^3)^2 = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

Используем формулу разности кубов и представляем \((a^3 — b^3)^2\) как \((a^6 — 2a^3 b^3 + b^6)\), что позволяет упростить произведение.

\((a^6 — b^6)(a^6 — 2a^3 b^3 + b^6) = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

Раскрыв скобки и применяя формулы сокращённого умножения, убеждаемся, что левая и правая части выражения совпадают, что доказывает равенство.

\(a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12} = a^{12} — 2a^9 b^3 + 2a^3 b^9 — b^{12}\)

Отсюда следует, что \(0 = 0\), что и требовалось доказать.