ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 251 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения
\[
\frac{3}{2} a^2 — 2ab + \frac{3}{2} b^2 — \frac{1}{4} a^2 — \frac{1}{9} b^2 + \frac{3}{4} a + \frac{6b}{2}
\]
не зависит от \(a\) и \(b\).

\( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 = \frac{36 \cdot \left( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 \right)}{18 \cdot \left( \frac{1}{4}a^2 — \frac{1}{9}b^2 \right)} + \frac{6b}{4} + \frac{1}{2}b = \)

\( = \frac{36 \cdot \left( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 \right)}{18 \cdot \left( \frac{1}{4}a^2 — \frac{1}{9}b^2 \right)} + \frac{6b \cdot 4}{18 \cdot \left( 3a^2 — 72ab + 12 \cdot 2b^2 \right)} + \frac{24b}{3a + 2b} = \)

\( = 4 \cdot \left( \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b \right) = \frac{54a^2 — 72ab + 24b^2}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} = \)

\( = \frac{6 \left( 9a^2 — 12ab + 4b^2 \right)}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} = \frac{6(3a — 2b)^2}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} = \)

\( = \frac{6(3a — 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} = \frac{18a — 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} = \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} = 6 \Rightarrow \)

\( 6 \) – не зависит от значений переменных.

\( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 = \frac{36 \cdot \left( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 \right)}{18 \cdot \left( \frac{1}{4}a^2 — \frac{1}{9}b^2 \right)} + \frac{6b}{4} + \frac{1}{2}b \)

В этом выражении сначала умножаем числитель и знаменатель дроби, чтобы упростить сложное выражение. В числителе у нас произведение числа 36 и суммы с переменными \(a\) и \(b\), а в знаменателе — произведение 18 и разности квадратов с дробными коэффициентами. Далее приводим к общему знаменателю и раскрываем скобки, учитывая, что \( \frac{1}{4}a^2 — \frac{1}{9}b^2 \) — это разность квадратов, которую можно разложить как \( \left( \frac{1}{2}a — \frac{1}{3}b \right)\left( \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b \right) \).

\( = \frac{36 \cdot \left( \frac{3}{2}a^2 — 2ab + \frac{2}{3}b^2 \right)}{18 \cdot \left( \frac{1}{4}a^2 — \frac{1}{9}b^2 \right)} + \frac{6b \cdot 4}{18 \cdot \left( 3a^2 — 72ab + 12 \cdot 2b^2 \right)} + \frac{24b}{3a + 2b} \)

Здесь числитель и знаменатель умножаются и сокращаются, чтобы получить более простые выражения. Число 36 делится на 18, что даёт 2, а также раскрываем скобки в числителе, сводя выражение к многочлену с переменными. После этого выделяем общий множитель и приводим подобные члены, чтобы упростить числитель и знаменатель. Вторая часть выражения приводится к общему знаменателю, чтобы сложить дроби.

\( = 4 \cdot \left( \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b \right) = \frac{54a^2 — 72ab + 24b^2}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} \)

Здесь мы видим факторизацию числителя и знаменателя, где знаменатель представлен в виде произведения двух биномиальных выражений \( (3a — 2b)(3a + 2b) \). Это позволяет упростить дробь, так как числитель и знаменатель имеют общие множители. Далее складываем дроби с разными знаменателями, приводя их к общему знаменателю \( (3a — 2b)(3a + 2b) \), что позволяет объединить выражения.

\( = \frac{6 \left( 9a^2 — 12ab + 4b^2 \right)}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} = \frac{6(3a — 2b)^2}{(3a — 2b)(3a + 2b)} + \frac{24b}{3a + 2b} \)

Здесь числитель превращается в полный квадрат \( (3a — 2b)^2 \), что упрощает дальнейшие преобразования. Сокращаем общий множитель \( (3a — 2b) \) в числителе и знаменателе первой дроби, после чего получаем сумму двух дробей с общим знаменателем \( 3a + 2b \).

\( = \frac{6(3a — 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} = \frac{18a — 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} = \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} = 6 \)

На последнем этапе складываем числители, приводя выражение к простой форме. Общий знаменатель остаётся \( 3a + 2b \), который сокращается с соответствующим множителем в числителе. В итоге получается константа 6, что означает, что исходное выражение не зависит от значений переменных \(a\) и \(b\).