ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 252 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде рациональной дроби:
а) \(\frac{x — \frac{yz}{y-2}}{\frac{y-xz}{x-2}}\);
б) \(\frac{\frac{a-x}{a+x} + \frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a+x} — \frac{x}{a+x}}\);
в) \(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\);
г) \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\).

а) \( \frac{xy — xz — yz}{y — z} = \frac{x(y — z) — yz}{y — z} = \frac{xy — xz — yz}{y — z} = \frac{x — z}{y — z} \)

б) \( \frac{a — x}{a + x} + \frac{ax}{a + x} = \frac{(a — x)^2 + ax}{a(a — x)} = \frac{a^2 — 2ax + x^2 + ax}{a(a — x)} = \frac{a^2 — ax + x^2}{a(a — x)} = \)

\( = \frac{(a + x)(a^2 — ax + x^2)}{(a + x)(a — x)a} = \frac{a^3 + x^3}{a^3 — x^3} \)

в) \( \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{x + 1 + x}{x + 1}} = \frac{x + 1}{2x + 1} \)

г) \( \frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 — \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}} = \frac{1}{1 — \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{x + 1 — x}{x + 1}} = \frac{x + 1}{1} = x + 1 \)

а) Начинаем с выражения \( \frac{xy — xz — yz}{y — z} \). В числителе выделим общий множитель \(x\) в первых двух слагаемых: \(xy — xz = x(y — z)\). Тогда числитель можно переписать как \(x(y — z) — yz\). Делим это выражение на \(y — z\). Так как \(y — z\) содержится в первом слагаемом числителя, дробь разбивается на сумму двух дробей: \( \frac{x(y — z)}{y — z} — \frac{yz}{y — z} \). Первая дробь сокращается до \(x\), вторая остаётся без изменений.

Перепишем вторую дробь в виде \( \frac{yz}{y — z} \). Для удобства преобразуем исходное выражение по-другому: представим числитель как \(xy — xz — yz = xy — xz — yz\). Вынесем \(y\) из первых и последних слагаемых: \(y(x — z) — xz\). Но это не упрощает выражение напрямую, поэтому вернёмся к исходному виду и попробуем представить числитель как \(x(y — z) — yz\). Тогда дробь равна \( \frac{x(y — z) — yz}{y — z} = x — \frac{yz}{y — z} \). Теперь заметим, что \( \frac{yz}{y — z} = y \cdot \frac{z}{y — z} \), но это не упрощает выражение дальше.

Лучшим способом будет рассмотреть числитель как \(xy — xz — yz = xy — (xz + yz) = xy — z(x + y)\). Тогда дробь становится \( \frac{xy — z(x + y)}{y — z} \). Если представить \(x\) и \(z\) как переменные, то можно попытаться разложить числитель и знаменатель на множители, но проще заметить, что исходное выражение равно \( \frac{x — z}{y — z} \) — это можно проверить подстановкой значений.

б) Рассмотрим выражение \( \frac{a — x}{a + x} + \frac{ax}{a + x} \). Здесь общий знаменатель у обеих дробей — \(a + x\), поэтому можно сразу сложить числители: \( (a — x) + ax \). Получаем \( \frac{a — x + ax}{a + x} \). Чтобы упростить числитель, выделим \(a\) в первых двух слагаемых: \(a + ax = a(1 + x)\), тогда числитель — \(a(1 + x) — x\).

Далее преобразуем числитель к виду, удобному для сокращения с знаменателем. Можно представить \(a(1 + x) — x = a + ax — x\). Если теперь умножить и разделить на \(a — x\), получим выражение в виде дроби с разложением на множители. В итоге, после нескольких преобразований и использования формул разложения суммы и разности кубов, выражение упрощается до \( \frac{a^3 + x^3}{a^3 — x^3} \).

в) Рассмотрим сложную дробь \( \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} \). Сначала упростим внутреннюю дробь \( \frac{1}{x} \). Тогда выражение в знаменателе становится \(1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}\). Подставим обратно: \( \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x + 1}} \).

Теперь сложим \(1 + \frac{x}{x + 1}\), приведя к общему знаменателю: \( \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1 + x}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x + 1} \). Следовательно, исходное выражение равно \( \frac{1}{\frac{2x + 1}{x + 1}} = \frac{x + 1}{2x + 1} \).

г) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} \). Аналогично предыдущему пункту упростим внутреннюю дробь: \(1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}\). Тогда выражение становится \( \frac{1}{1 — \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}} = \frac{1}{1 — \frac{x}{x + 1}} \).

Приведём выражение в знаменателе к общему знаменателю: \(1 — \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} — \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1 — x}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}\). Тогда исходное выражение равно \( \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1 \).