ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 253 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:
а) \(\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2} \cdot \frac{3x}{x^2 — 4}\);
б) \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\);
в) \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\).

а): \(\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2} \cdot \frac{3x}{x^2 — 4}\)
\(x^2 — 4 \neq 0,\)
\(\frac{3x}{x^2 — 4} \neq 0\)
\(x^2 \neq 4 \quad 3x \neq 0\)
\(x \neq \pm 2 \quad x \neq 0\)
\(x \in (-\infty; -2), (-2; 0), (0; 2), (2; +\infty)\).

б): \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\)
\(x \neq 0,\)
\(1 — \frac{1}{x} \neq 0,\)
\(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}} \neq 0\)
\(x \neq 1\)
\(1 — \frac{1}{x} — 1 \neq 0\)
\(x — 1 — x \neq 0\) — решения нет.
\(x \in (-\infty; 0), (0; 1), (1; +\infty)\).

в): \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\)
\(x \neq 0,\)
\(1 + \frac{1}{x} \neq 0,\)
\(1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \neq 0\)
\(x \neq -1\)
\(1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \neq 0\)
\(x \in (-\infty; -1), (-1; 0), (0; +\infty)\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2} \cdot \frac{3x}{x^2 — 4}\). Чтобы оно имело смысл, необходимо исключить все значения \(x\), при которых знаменатели обращаются в ноль, так как деление на ноль не определено. В первом слагаемом знаменатель \(x-2\) не должен равняться нулю, значит \(x \neq 2\). Во втором слагаемом знаменатель состоит из произведения: \(x+2\) и \(x^2 — 4\). Заметим, что \(x^2 — 4\) раскладывается как \((x-2)(x+2)\), поэтому он равен нулю при \(x = 2\) или \(x = -2\). Значит, \(x \neq -2\) и \(x \neq 2\).

Далее, учитывая, что знаменатель второго слагаемого — это произведение, и в самом числителе есть \(3x\), которое не должно быть нулём, следует исключить \(x = 0\) из области определения, так как в числителе стоит \(3x\), и хотя это не вызывает деления на ноль, при \(x=0\) выражение не теряет смысла, но для полноты рассмотрим. Однако, \(x=0\) в знаменателях не встречается, значит \(x=0\) допустимо. Но проверим внимательно: знаменатель второго слагаемого — это \(x^2 — 4\), а числитель \(3x\); числитель может быть нулём, это не запрещает выражение.

Итог: исключаем из области определения все значения, при которых знаменатели равны нулю, то есть \(x \neq \pm 2\). Дополнительно, \(x\) не должен быть равен нулю, если это приводит к неопределённости, но здесь \(x=0\) допустимо. Таким образом, область определения: \(x \in (-\infty; -2), (-2; 0), (0; 2), (2; +\infty)\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\). Для начала исключаем значения \(x\), при которых возникает деление на ноль. Внутренний знаменатель \(x\) не должен быть равен нулю, значит \(x \neq 0\). Следующий уровень — знаменатель \(1 — \frac{1}{x}\) не должен равняться нулю, то есть \(1 — \frac{1}{x} \neq 0\), откуда \(x \neq 1\).

Далее внешнее выражение содержит знаменатель \(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}\), который тоже не должен равняться нулю. Решая неравенство \(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}} \neq 0\), получаем, что решения этого уравнения отсутствуют, то есть при \(x = 1\) возникает неопределённость. Таким образом, \(x\) не может быть равен 1. В итоге область определения — все значения \(x\), кроме \(0\) и \(1\).

Область определения: \(x \in (-\infty; 0), (0; 1), (1; +\infty)\).

в) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\). Аналогично исключаем значения \(x\), при которых знаменатели равны нулю. Внутренний знаменатель \(x\) не должен быть равен нулю, значит \(x \neq 0\). Далее знаменатель \(1 + \frac{1}{x}\) не должен равняться нулю, то есть \(1 + \frac{1}{x} \neq 0\), откуда \(x \neq -1\).

Внешний знаменатель \(1 — \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\) не должен равняться нулю. Аналогично решаем это условие, исключая \(x\), при которых возникает деление на ноль. В итоге область определения состоит из всех значений \(x\), кроме \(0\) и \(-1\).

Область определения: \(x \in (-\infty; -1), (-1; 0), (0; +\infty)\).