ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 256 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если \( z \) является средним гармоническим положительных чисел \( a \) и \( b \), причём \( a \neq b \), то верно равенство
\[
\frac{1}{z — a} + \frac{1}{z — b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.
\]

\( \frac{1}{z — a} + \frac{1}{z — b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} \)

\( \frac{1}{\frac{2ab}{b+a} — a} + \frac{1}{\frac{2ab}{b+a} — b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{1}{\frac{2ab — a(b+a)}{b+a}} + \frac{1}{\frac{2ab — b(b+a)}{b+a}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b+a}{2ab — ab — a^2} + \frac{b+a}{2ab — b^2 — ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b+a}{ab — a^2} + \frac{b+a}{ab — b^2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b+a}{a(b — a)} + \frac{b+a}{b(b — a)} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b(b+a)}{ab(b — a)} — \frac{a(b+a)}{ab(b — a)} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b^2 + ab — ab — a^2}{ab(b — a)} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b^2 — a^2}{ab(b — a)} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{(b — a)(b + a)}{ab(b — a)} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \quad \Rightarrow \quad \text{доказано}. \)

\( \frac{1}{z — a} + \frac{1}{z — b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \). Сначала выразим \(z\) через \(a\) и \(b\). Сложим дроби в знаменателе: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} \), тогда \( z = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} \). Это значение \(z\) подставим в левую часть исходного уравнения.

Подставляя \( z = \frac{2ab}{a+b} \), получаем выражение \( \frac{1}{\frac{2ab}{b+a} — a} + \frac{1}{\frac{2ab}{b+a} — b} \). Чтобы упростить, приведем каждое выражение к общему знаменателю. Для первой дроби знаменатель равен \( \frac{2ab}{b+a} — a = \frac{2ab — a(b+a)}{b+a} \), для второй — \( \frac{2ab}{b+a} — b = \frac{2ab — b(b+a)}{b+a} \). Перепишем сумму с учетом знаменателей: \( \frac{1}{\frac{2ab — a(b+a)}{b+a}} + \frac{1}{\frac{2ab — b(b+a)}{b+a}} = \frac{b+a}{2ab — a(b+a)} + \frac{b+a}{2ab — b(b+a)} \).

Далее раскроем скобки в числителях и знаменателях: \( 2ab — a(b+a) = 2ab — ab — a^2 = ab — a^2 \), и \( 2ab — b(b+a) = 2ab — b^2 — ab = ab — b^2 \). Таким образом, выражение становится \( \frac{b+a}{ab — a^2} + \frac{b+a}{ab — b^2} \). Теперь вынесем общий множитель в знаменателях: \( ab — a^2 = a(b — a) \), \( ab — b^2 = b(a — b) = -b(b — a) \). Перепишем сумму с учетом знаков: \( \frac{b+a}{a(b — a)} + \frac{b+a}{b(b — a)} \).

Объединим дроби, приведя их к общему знаменателю \( ab(b — a) \): первая дробь умножается на \( b \), вторая — на \( a \), получаем \( \frac{b(b+a)}{ab(b — a)} — \frac{a(b+a)}{ab(b — a)} \). Вычитаем числители: \( b(b+a) — a(b+a) = b^2 + ab — ab — a^2 = b^2 — a^2 \). Итоговая дробь: \( \frac{b^2 — a^2}{ab(b — a)} \).

В числителе раскладываем разность квадратов: \( b^2 — a^2 = (b — a)(b + a) \), тогда дробь принимает вид \( \frac{(b — a)(b + a)}{ab(b — a)} \). Сокращаем множитель \( (b — a) \) в числителе и знаменателе, получаем \( \frac{b + a}{ab} \). Раскладываем сумму в числителе: \( \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \), что совпадает с правой частью исходного уравнения. Следовательно, равенство доказано.