ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 260 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:
а) \( y = \frac{36}{(x+1)^2 — (x-1)^2} \);
б) \( y = \frac{18 — 12x}{x^2 — 3x} — \frac{6}{3 — x} \);
в) \( y = \frac{16}{(2 — x)^2 — (2 + x)^2} \);
г) \( y = \frac{3x(x+1) — 3x^2 + 15}{x(x+5)} \).

а) \( y = \frac{36}{(x+1)^2 — (x-1)^2} = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x} \)
\((x+1)^2 — (x-1)^2 \neq 0\)
\(x^2 + 2x + 1 — x^2 + 2x — 1 \neq 0\)
\(4x \neq 0\)
\(x \neq 0\) — область определения.

б) \( y = \frac{18 — 12x}{x^2 — 3x} — \frac{6}{3 — x} = \frac{18 — 12x}{x(x-3)} + \frac{6}{x-3} = \frac{18 — 12x + 6x}{x(x-3)} = \)
\(= \frac{18 — 6x}{x(x-3)} = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)} = -\frac{6}{x} \)
\(x^2 — 3x \neq 0\)
\(x(x-3) \neq 0\)
\(x \neq 0, \quad x \neq 3\) — область определения.

в) \( y = \frac{16}{(2 — x)^2 — (2 + x)^2} = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x} \)
\((2 — x)^2 — (2 + x)^2 \neq 0\)
\(4 — 4x + x^2 — 4 — 4x — x^2 \neq 0\)
\(-8x \neq 0\)
\(x \neq 0\) — область определения.

г) \( y = \frac{3x(x+1) — 3x^2 + 15}{x(x+5)} = \frac{3x^2 + 3x — 3x^2 + 15}{x(x+5)} = \frac{3x + 15}{x(x+5)} = \)
\(= \frac{3(x + 5)}{x(x+5)} = \frac{3}{x} \)
\(x(x+5) \neq 0\)
\(x \neq 0, \quad x \neq -5\) — область определения.

а) Начинаем с выражения \( y = \frac{36}{(x+1)^2 — (x-1)^2} \). Чтобы упростить знаменатель, раскрываем скобки: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\), \((x-1)^2 = x^2 — 2x + 1\). Вычитаем второе из первого: \(x^2 + 2x + 1 — (x^2 — 2x + 1) = x^2 + 2x + 1 — x^2 + 2x — 1 = 4x\). Таким образом, знаменатель равен \(4x\), и функция принимает вид \( y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x} \).

Проверяем область определения: знаменатель не должен равняться нулю, значит \(4x \neq 0\), откуда \(x \neq 0\). Это исключает точку \(x=0\) из области определения функции. Таким образом, функция определена при всех \(x\), кроме нуля.

б) Рассмотрим функцию \( y = \frac{18 — 12x}{x^2 — 3x} — \frac{6}{3 — x} \). Для удобства приводим к общему знаменателю. Заметим, что \(x^2 — 3x = x(x-3)\), а \(3 — x = -(x-3)\). Перепишем второе с учетом знака: \(- \frac{6}{3 — x} = \frac{6}{x-3}\). Теперь выражение выглядит как \( \frac{18 — 12x}{x(x-3)} + \frac{6}{x-3} \).

Приводим вторую дробь к общему знаменателю \(x(x-3)\), умножая числитель и знаменатель на \(x\): \(\frac{6}{x-3} = \frac{6x}{x(x-3)}\). Складываем дроби: \(\frac{18 — 12x + 6x}{x(x-3)} = \frac{18 — 6x}{x(x-3)}\).

Выносим общий множитель в числителе: \(18 — 6x = 6(3 — x) = -6(x — 3)\). Подставляем обратно: \(y = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)}\). Сокращаем на \(x-3\), получаем \(y = \frac{-6}{x}\).

Область определения: знаменатели не равны нулю, значит \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\).

в) Функция задана как \( y = \frac{16}{(2 — x)^2 — (2 + x)^2} \). Раскроем скобки в знаменателе: \((2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2\), \((2 + x)^2 = 4 + 4x + x^2\). Вычитаем: \(4 — 4x + x^2 — (4 + 4x + x^2) = 4 — 4x + x^2 — 4 — 4x — x^2 = -8x\).

Таким образом, функция упрощается до \( y = \frac{16}{-8x} = \frac{-2}{x} \).

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит \(x \neq 0\).

г) Дана функция \( y = \frac{3x(x+1) — 3x^2 + 15}{x(x+5)} \). Раскроем скобки в числителе: \(3x(x+1) = 3x^2 + 3x\). Подставляем: \(3x^2 + 3x — 3x^2 + 15 = 3x + 15\).

Функция принимает вид \( y = \frac{3x + 15}{x(x+5)} \). В числителе вынесем общий множитель 3: \(3(x + 5)\). Подставляем: \(y = \frac{3(x + 5)}{x(x + 5)}\).

Сокращаем на \(x + 5\), получаем \(y = \frac{3}{x}\).

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит \(x \neq 0\) и \(x \neq -5\).