ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 261 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = -4 — \frac{x+2}{x^2 + 2x} \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) не имеет с графиком общих точек.

\( y = -4 — \frac{x+2}{x^2 + 2x} = -4 — \frac{x+2}{x(x+2)} = -4 — \frac{1}{x} = — \frac{1}{x} — 4. \)

Область определения функции:
\( x^2 + 2x \neq 0 \)
\( x(x+2) \neq 0 \)
\( x \neq 0 \) или \( x \neq -2. \)

Прямая \( y = m \) не имеет с графиком общих точек при \( m = -3,5 \) и \( m = -4 \).

\( y = -4 — \frac{x+2}{x^2 + 2x} \). Для упрощения выражения заметим, что знаменатель можно разложить на множители: \( x^2 + 2x = x(x + 2) \). Тогда дробь примет вид \( \frac{x+2}{x(x+2)} \). При условии, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \), можно сократить числитель и знаменатель на \( x+2 \), так как это выражение не равно нулю. После сокращения остаётся \( \frac{1}{x} \). Таким образом, исходное выражение преобразуется в \( y = -4 — \frac{1}{x} \).

Область определения функции определяется из условия, что знаменатель не равен нулю. Значит, \( x^2 + 2x \neq 0 \), что эквивалентно \( x(x+2) \neq 0 \). Следовательно, \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \). Эти значения исключаются, так как при них функция не определена. Это важно учитывать при построении графика и анализе поведения функции.

Для наглядности вычислим значения функции в нескольких точках. Подставляя значения \( x = -4, -1, -0,5, -0,25, 0,25, 0,5, 1, 4 \), получаем соответствующие значения \( y \), которые занесены в таблицу:

График функции имеет вертикальные асимптоты при \( x = 0 \) и \( x = -2 \), так как в этих точках функция не определена и стремится к бесконечности. Горизонтальная асимптота — прямая \( y = -4 \), поскольку при больших по абсолютной величине значениях \( x \) значение функции стремится к \( -4 \). Это видно из выражения \( y = -4 — \frac{1}{x} \), где при \( x \to \pm \infty \) дробь стремится к нулю.

Прямая \( y = m \) не пересекает график функции для значений \( m = -3,5 \) и \( m = -4 \). Для \( m = -4 \) это связано с тем, что \( y = -4 \) — горизонтальная асимптота, к которой функция лишь приближается, но не достигает её. Для \( m = -3,5 \) проверка показывает отсутствие решений уравнения \( -4 — \frac{1}{x} = -3,5 \), то есть нет точек пересечения с этой прямой.