ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 263 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:
а) \( y = \frac{|2x — 18|}{x — 9} \);
б) \( y = \frac{|x + 3|}{3x + 9} \).

а) \( y = \frac{|2x — 18|}{x — 9} = \frac{2|x — 9|}{x — 9} \).

Область определения функции:
\( x — 9 \neq 0 \)
\( x \neq 9 \).

Если \( x > 9 \), то \( y = 2 \).
Если \( x < 9 \), то \( y = -2 \). \( y = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 9 \\
-2, & \text{если } x < 9 \end{cases} \).

б) \( y = \frac{|x + 3|}{3x + 9} = \frac{|x + 3|}{3(x + 3)} \).

Область определения функции:
\( 3x + 9 \neq 0 \)
\( x \neq -3 \).

Если \( x > -3 \), то \( y = \frac{1}{3} \).
Если \( x < -3 \), то \( y = -\frac{1}{3} \). \( y = \begin{cases} \frac{1}{3}, & \text{если } x > -3 \\
-\frac{1}{3}, & \text{если } x < -3 \end{cases} \).

а) Рассмотрим функцию \( y = \frac{|2x — 18|}{x — 9} \). Для упрощения выразим числитель через модуль от \(x — 9\): заметим, что \(2x — 18 = 2(x — 9)\), тогда \( y = \frac{2|x — 9|}{x — 9} \). Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x — 9 \neq 0 \), откуда \( x \neq 9 \).

Далее проанализируем поведение функции в зависимости от знака выражения внутри модуля. Если \( x > 9 \), то \( x — 9 > 0 \), и модуль раскрывается как \( |x — 9| = x — 9 \). Подставляя это, получаем \( y = \frac{2(x — 9)}{x — 9} = 2 \). Если же \( x < 9 \), то \( x — 9 < 0 \), и модуль раскрывается с отрицательным знаком: \( |x — 9| = -(x — 9) = 9 — x \). Тогда \( y = \frac{2(9 — x)}{x — 9} = \frac{2(9 — x)}{x — 9} = -2 \), так как знаменатель отрицателен. Таким образом, функция принимает два постоянных значения на промежутках, разделённых точкой \( x = 9 \), где функция не определена: \( y = 2 \) при \( x > 9 \) и \( y = -2 \) при \( x < 9 \). Итоговое выражение для функции записывается так: \( y = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 9 \\ -2, & \text{если } x < 9 \end{cases} \).

б) Функция задана выражением \( y = \frac{|x + 3|}{3x + 9} \). Сначала упростим знаменатель: \( 3x + 9 = 3(x + 3) \), тогда \( y = \frac{|x + 3|}{3(x + 3)} \). Область определения функции ограничена условием \( 3x + 9 \neq 0 \), то есть \( x \neq -3 \).

Рассмотрим случаи в зависимости от знака выражения \( x + 3 \). Если \( x > -3 \), то \( x + 3 > 0 \) и \( |x + 3| = x + 3 \). Подставляя, получаем \( y = \frac{x + 3}{3(x + 3)} = \frac{1}{3} \). Если \( x < -3 \), то \( x + 3 < 0 \) и \( |x + 3| = -(x + 3) \), тогда \( y = \frac{-(x + 3)}{3(x + 3)} = -\frac{1}{3} \). В итоге функция принимает два значения в зависимости от области определения: \( y = \frac{1}{3} \) при \( x > -3 \) и \( y = -\frac{1}{3} \) при \( x < -3 \). Точка \( x = -3 \) исключена из области определения. Запись функции с учётом этих условий: \( y = \begin{cases} \frac{1}{3}, & \text{если } x > -3 \\ -\frac{1}{3}, & \text{если } x < -3 \end{cases} \).