ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 264 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:
а) \( y = \frac{x^2 — 16}{|x — 4|} \);
б) \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + |x|} \).

а) \( y = \frac{x^2 — 16}{|x — 4|} = \frac{(x — 4)(x + 4)}{|x — 4|} \).

Область определения функции: \( x — 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \).

Если \( x > 4 \), то \( y = x + 4 \).

Если \( x < 4 \), то \( y = — (x + 4) = -x — 4 \). \( y = \begin{cases} x + 4, \text{ если } x > 4 \\
-x — 4, \text{ если } x < 4
\end{cases} \).

б) \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + |x|} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + |x|} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + x} \).

Область определения функции: вся числовая прямая.

Если \( x \geq 0 \), то \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + x} = x — 5 \).

Если \( x < 0 \), то

\( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + |x|} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 — x} = -\frac{(x — 5)(x + 5)}{-(5 — x)} = -(x + 5) \).

\( y = \begin{cases}
x — 5, \text{ если } x \geq 0 \\
-x — 5, \text{ если } x < 0
\end{cases} \).

а) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^2 — 16}{|x — 4|} \). Сначала преобразуем числитель: \( x^2 — 16 = (x — 4)(x + 4) \). Тогда функция принимает вид \( y = \frac{(x — 4)(x + 4)}{|x — 4|} \). Область определения ограничена условием, что знаменатель не равен нулю, то есть \( |x — 4| \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \). Это важно, так как в точке \( x = 4 \) функция не определена.

Далее рассмотрим поведение функции в зависимости от знака выражения под модулем. Если \( x > 4 \), то \( |x — 4| = x — 4 \), и функция упрощается до \( y = \frac{(x — 4)(x + 4)}{x — 4} = x + 4 \). Если же \( x < 4 \), то \( |x — 4| = -(x — 4) = 4 — x \), поэтому \( y = \frac{(x — 4)(x + 4)}{4 — x} = -\frac{(x — 4)(x + 4)}{x — 4} = -(x + 4) = -x — 4 \). Таким образом, функция имеет разрыв в точке \( x = 4 \) и меняет свой вид с \( y = x + 4 \) при \( x > 4 \) на \( y = -x — 4 \) при \( x < 4 \). Итоговое выражение функции можно записать в виде кусочной функции: \( y = \begin{cases} x + 4, \text{ если } x > 4 \\ -x — 4, \text{ если } x < 4 \end{cases} \). Это означает, что график функции состоит из двух линейных частей с разрывом в точке \( x = 4 \), где функция не определена.

б) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + |x|} \). Числитель раскладываем на множители: \( x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5) \). Тогда функция записывается как \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + |x|} \). Область определения — вся числовая прямая, так как знаменатель \( 5 + |x| \) всегда положителен и не равен нулю.

Для анализа функции разделим область определения на два случая в зависимости от знака \( x \). Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + x} \). Заметим, что \( 5 + x \neq 0 \) при \( x \geq 0 \). Упростим дробь: \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 + x} = x — 5 \), так как \( 5 + x = x + 5 \).

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{5 — x} \). Перепишем знаменатель как \( -(x — 5) \), тогда \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{-(x — 5)} = — (x + 5) = -x — 5 \). Таким образом, функция на отрицательной части оси \( x \) линейна с отрицательным наклоном.

Функция принимает вид кусочной функции: \( y = \begin{cases} x — 5, \text{ если } x \geq 0 \\ -x — 5, \text{ если } x < 0 \end{cases} \). График функции состоит из двух линейных частей, которые соединяются в точке \( x = 0 \), где функция непрерывна.