ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 265 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \( k \) и \( b \) гипербола \( y = \frac{k}{x} \) и прямая \( y = kx + b \) проходят через точку:
а) \( P(2; 1) \);
б) \( Q(-2; 3) \);
в) \( R(-1; 1) \)?

\(y = \frac{k}{x}, \quad y = kx + b\)

а) \(P(2; 1)\)
\(1 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 2.\)
\(1 = 2k + b\)
\(1 — 2 \cdot 2 = b\)
\(b = -3.\)
Ответ: при \(k = 2, b = -3.\)

б) \(Q(-2; 3)\)
\(3 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = -6.\)
\(3 = -2k + b\)
\(3 + 2 \cdot (-6) = b\)
\(b = 3 — 12\)
\(b = -9.\)
Ответ: при \(k = -6, b = -9.\)

а) Для начала рассмотрим точку \(P(2; 1)\), которая принадлежит графику функции \(y = \frac{k}{x}\). Подставляем координаты точки в уравнение, получаем \(1 = \frac{k}{2}\). Это уравнение позволяет найти значение параметра \(k\), умножая обе части на 2: \(k = 2\). Теперь, зная \(k\), переходим к уравнению прямой \(y = kx + b\). Подставляем \(x = 2\), \(y = 1\), а также найденное \(k = 2\): \(1 = 2 \cdot 2 + b\). Выражаем \(b\) из этого уравнения: \(b = 1 — 4 = -3\). Таким образом, для точки \(P\) мы нашли, что \(k = 2\), а \(b = -3\).

Следующий шаг — проверка соответствия найденных параметров уравнению прямой. Мы видим, что при \(k = 2\) и \(b = -3\) уравнение прямой принимает вид \(y = 2x — 3\), что удовлетворяет условию прохождения через точку \(P\), поскольку \(2 \cdot 2 — 3 = 1\). Это подтверждает корректность вычислений и завершает решение для пункта а).

б) Рассмотрим точку \(Q(-2; 3)\), которая принадлежит графику функции \(y = \frac{k}{x}\). Подставляем координаты точки в уравнение: \(3 = \frac{k}{-2}\). Чтобы найти \(k\), умножаем обе части на \(-2\): \(k = -6\). Теперь переходим к уравнению прямой \(y = kx + b\) и подставляем значения \(x = -2\), \(y = 3\), а также найденное \(k = -6\): \(3 = -6 \cdot (-2) + b\). Выражаем \(b\): \(b = 3 — 12 = -9\).

Проверяем правильность полученного результата, подставляя параметры в уравнение прямой: \(y = -6x — 9\). При \(x = -2\), \(y = -6 \cdot (-2) — 9 = 12 — 9 = 3\), что совпадает с координатой точки \(Q\). Таким образом, для точки \(Q\) значения параметров \(k = -6\), \(b = -9\) являются верными и удовлетворяют условию.