ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 266 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Могут ли графики функций \( y = \frac{k}{x} \) (\( k \neq 0 \)) и \( y = ax + b \) пересекаться:
а) только в одной точке;
б) только в двух точках;
в) в трёх точках?

\( y = \frac{k}{x}, \quad y = ax + b \)
а) могут.
б) могут.
в) не могут.

\( y = \frac{k}{x}, \quad y = ax + b \)

а) Функция \( y = \frac{k}{x} \) является обратной пропорциональностью, где \( k \) — константа, а \( x \) — переменная. График этой функции — гипербола, которая не является прямой линией. Функция \( y = ax + b \) — это линейная функция с угловым коэффициентом \( a \) и смещением \( b \), график которой представляет собой прямую линию. Несмотря на то, что эти функции имеют разные виды графиков, они могут принимать одинаковые значения \( y \) при некоторых значениях \( x \). Это означает, что они могут пересекаться, то есть иметь общие точки, поэтому они могут быть равны в отдельных точках.

В частности, при решении уравнения \( \frac{k}{x} = ax + b \) можно найти такие значения \( x \), при которых обе функции совпадают по значению. Это уравнение можно преобразовать к виду \( k = x(ax + b) = a x^2 + b x \), что является квадратным уравнением. Следовательно, в зависимости от коэффициентов \( a, b, k \) могут существовать один или два решения, показывающие, что функции могут иметь общие точки, то есть могут пересекаться.

б) Рассмотрим снова уравнение \( \frac{k}{x} = ax + b \) с точки зрения возможности существования решений. Если \( a \) и \( b \) — произвольные константы, то уравнение \( a x^2 + b x — k = 0 \) может иметь два, одно или ни одного решения в действительных числах. Значит, функции \( y = \frac{k}{x} \) и \( y = ax + b \) могут пересекаться в одной или двух точках, либо не пересекаться вовсе. Таким образом, в общем случае, функции могут иметь общие значения, то есть могут быть равны при некоторых \( x \).

Это подтверждает, что в зависимости от параметров \( a, b, k \) функции могут иметь пересечения, и следовательно, утверждение, что они могут быть равны, верно.

в) Теперь рассмотрим, могут ли эти функции не иметь общих точек вообще. Если рассмотреть уравнение \( \frac{k}{x} = ax + b \) и преобразовать его в \( a x^2 + b x — k = 0 \), то для отсутствия решений дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, и функции не пересекаются, то есть не могут быть равны при любом значении \( x \).

Таким образом, если дискриминант уравнения отрицателен, то функции не могут принимать одинаковые значения, что означает, что они не могут быть равны. Это доказывает, что при определённых значениях параметров функции не могут иметь общих точек.