ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 268 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Приведите пример:
а) рационального числа;
б) иррационального числа.

а) 5,25 — рациональное число.

б) 5,22022200 … — иррациональное число.

а) Число 5,25 является рациональным, поскольку оно может быть записано в виде дроби с целыми числителями и знаменателями. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, а \(q \neq 0\). В данном случае 5,25 можно представить как \(\frac{525}{100}\), что после сокращения даёт \(\frac{21}{4}\). Такое представление подтверждает рациональность числа, так как оно выражается конечной десятичной дробью или дробью с периодической десятичной записью.

Рациональные числа включают все числа, которые имеют либо конечное десятичное представление, либо бесконечную периодическую десятичную дробь. В числе 5,25 десятичная часть ограничена двумя знаками после запятой, то есть она конечна. Следовательно, это число принадлежит множеству рациональных чисел. Именно возможность записи числа в виде конечной или периодической дроби и является ключевым признаком рациональности.

Таким образом, число 5,25 соответствует определению рационального числа, так как его десятичное представление конечное, а оно само может быть выражено в виде дроби с целыми числителями и знаменателями, что и подтверждает его рациональность.

б) Число 5,22022200 … является иррациональным, поскольку его десятичное представление бесконечно и не периодично. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя записать в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, \(q \neq 0\). В данном примере десятичная часть числа содержит неограниченное количество цифр без какого-либо повторяющегося шаблона, что является характерным признаком иррациональности.

Для того чтобы число было рациональным, его десятичное представление должно либо заканчиваться, либо иметь периодическую последовательность цифр. В числе 5,22022200 … наблюдается усложнённая последовательность цифр без очевидного периода, что исключает возможность его представления в виде дроби с целыми числами. Это значит, что оно не принадлежит множеству рациональных чисел.

Таким образом, число 5,22022200 … не может быть выражено в виде дроби \(\frac{p}{q}\), и его бесконечное непериодическое десятичное представление указывает на то, что оно является иррациональным числом.