ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 270 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Среди чисел \(\frac{1}{7}; 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111…\) (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); \(4,2(51); 217; \pi\) укажите рациональные и иррациональные.

Рациональные числа:
\(\frac{1}{7}; 0,25; -2; (3); 4,2(51); 217.\)

Иррациональные числа:
\(0,818118111 \ldots; \pi.\)

Рациональные числа:
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, а \(q \neq 0\). В данном списке первое число — \(\frac{1}{7}\) — это классический пример рационального числа, так как оно выражено в виде простой дроби с целыми числителями и знаменателями. Следующее число — 0,25 — это десятичная дробь, которая также является рациональной, так как её можно представить как \(\frac{1}{4}\). Число \(-2\) — целое, и, соответственно, рациональное, так как его можно записать как \(\frac{-2}{1}\).

Далее идут числа с периодической десятичной записью, такие как \((3)\) и \(4,2(51)\). Число \((3)\) означает бесконечное повторение цифры 3 после запятой, то есть \(0,3333\ldots\), что эквивалентно \(\frac{1}{3}\). Число \(4,2(51)\) — десятичное с периодом, где периодические цифры 51 повторяются бесконечно, и такое число также рационально, так как любое периодическое десятичное число можно представить в виде дроби. Наконец, число 217 — целое, следовательно, рациональное, так как оно равно \(\frac{217}{1}\).

Иррациональные числа:
Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить в виде дроби \(\frac{p}{q}\) с целыми \(p\) и \(q\). Они имеют бесконечную непериодическую десятичную запись. В примере число \(0,818118111 \ldots\) — это число с бесконечной непериодической десятичной частью, что делает его иррациональным. Оно не может быть записано в виде конечной или периодической дроби. Второе число — \(\pi\) — классический пример иррационального числа, известного своей бесконечной непериодической десятичной записью, не поддающейся представлению в виде дроби с целыми числителями и знаменателями.

Таким образом, рациональные числа включают в себя все числа, которые могут быть представлены в виде дроби с целыми числами, в том числе целые и периодические десятичные дроби. Иррациональные же числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление и не могут быть выражены через простые дроби. В приведённом примере чётко выделены эти два класса чисел по их свойствам и форме записи.