ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 283 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Является ли рациональным или иррациональным числом сумма \(a + b\), где \(a = 1,323223222…\) (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и \(b = 2,313113111…\) (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?

Так как числа \(a\) и \(b\) иррациональные, с чередующимися цифрами, то и сумма данных чисел тоже будет иррациональным числом, так как группа цифр, полученного числа, будет состоять из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделённых тройками, и одной, двух, трёх единиц и т. д., разделённых тройками.

Так как числа \(a\) и \(b\) иррациональные, каждое из них имеет бесконечную непериодическую десятичную запись, в которой цифры чередуются по определённым правилам. В частности, число \(a = 1,323223222…\) содержит группы, состоящие из одной, двух, трёх двоек и так далее, разделённых тройками. Аналогично число \(b = 2,313113111…\) состоит из групп одной, двух, трёх единиц и так далее, также разделённых тройками. Такая структура записи исключает периодичность, а значит, и рациональность этих чисел, поскольку рациональное число в десятичной записи имеет либо конечное число знаков после запятой, либо периодическую десятичную дробь.

При сложении \(a + b\) мы получаем число, десятичная запись которого формируется суммированием соответствующих цифр \(a\) и \(b\) с учётом переноса. Поскольку группы цифр в \(a\) и \(b\) увеличиваются по длине и разделены одинаковыми разделителями (тройками), сумма сохраняет структуру, где цифры образуют группы, состоящие из повторяющихся чисел, разделённых другими цифрами. Это значит, что десятичная запись суммы также не будет иметь периодической структуры. Следовательно, число \(a + b\) не может быть рациональным, так как рациональное число обязательно имеет периодическую или конечную десятичную запись.

Таким образом, сумма \(a + b\) остаётся иррациональным числом. Это объясняется тем, что сумма двух иррациональных чисел с описанной структурой десятичных знаков не приводит к появлению периодичности в десятичной записи. Формально: если \(a\) и \(b\) имеют десятичные записи с группами цифр, увеличивающимися по длине и разделёнными постоянными цифрами, то структура десятичной записи \(a + b\) будет аналогичной, что исключает возможность её представления как рационального числа.