ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 284 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что \(a^2, b^2, a — b\) — рациональные числа и \(a \neq b\). Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма \(a + b\)?

Так как числа \(a\) и \(b\) в квадрате и разность данных чисел является рациональным числом, то и сумма данных чисел тоже будет рациональным числом.

\(\frac{a^2 — b^2}{a — b} = \frac{(a — b)(a + b)}{a — b} = a + b\) – рациональное число.

Так как числа \(a^2\) и \(b^2\) заданы, и известно, что разность этих чисел является рациональным числом, то можно рассмотреть выражение \(a^2 — b^2\). Это выражение можно разложить по формуле разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Поскольку разность \(a^2 — b^2\) рациональна, а \(a — b\) также рационально задано, мы можем рассмотреть отношение \(\frac{a^2 — b^2}{a — b}\), при условии, что \(a \neq b\), чтобы деление было корректным.

Деление выражения \(\frac{a^2 — b^2}{a — b}\) позволяет упростить дробь, сократив множитель \(a — b\) в числителе и знаменателе. При этом получаем \(\frac{(a — b)(a + b)}{a — b} = a + b\). Этот результат показывает, что сумма чисел \(a\) и \(b\) равна значению рационального числа, так как исходное выражение было рациональным. Следовательно, если разность \(a — b\) и разность квадратов \(a^2 — b^2\) рациональны, то и сумма \(a + b\) тоже будет рациональным числом.

Таким образом, исходя из данных условий, мы доказали, что сумма двух чисел \(a\) и \(b\) является рациональным числом. Это объясняется тем, что исходное выражение \(\frac{a^2 — b^2}{a — b}\) — это именно сумма \(a + b\), а оно рационально, поскольку дробь состоит из рациональных чисел. В итоге, из рациональности разности квадратов и разности чисел следует рациональность их суммы.