Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 285 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\left(1 — \frac{3x^2}{1-x^2}\right) : \left(\frac{x}{x+1} + 1\right)\);
б) \(\left(\frac{a+b}{b} — \frac{a}{a+b}\right) : \left(\frac{a+b}{a} — \frac{b}{a+b}\right)\);
в) \(\frac{3a^2 — a + 3}{a^3 — 1} — \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} + \frac{2}{1 — a}\);
г) \(\left(\frac{2b}{1-b} — b\right) : \left(\frac{3b + 3}{b-1}\right)\);
д) \(\left(a — x + \frac{x^2}{a+x}\right) \cdot \frac{a — x}{a}\).
а) \(\left(1 — \frac{3x^2}{1 — x^2}\right) : \left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) = \left(\frac{1 — x^2 — 3x^2}{1 — x^2}\right) : \left(\frac{x + x + 1}{x + 1}\right) = \frac{1 — 4x^2}{1 — x^2} \cdot \frac{x + 1}{2x + 1} =\)
\(= \frac{(1 — 2x)(1 + 2x) \cdot (x + 1)}{(1 — x)(1 + x) \cdot (2x + 1)} = \frac{1 — 2x}{1 — x} = \frac{2x — 1}{x — 1}\).
б) \(\left(\frac{a + b}{b} — \frac{a}{a + b}\right) : \left(\frac{a + b}{a} — \frac{b}{a + b}\right) = \frac{(a + b)^2 — ab}{b(a + b)} : \frac{(a + b)^2 — ab}{a(a + b)} =\)
\(= \frac{a(a + b)}{b(a + b)} \cdot \frac{a(a + b)}{(a + b)^2 — ab} = \frac{a}{b}\).
в) \(\frac{3a^2 — a + 3}{a^3 — 1} — \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} + \frac{2}{1 — a} = \frac{3a^2 — a + 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} — \frac{2}{a — 1} =\)
\(= \frac{3a^2 — a + 3 — (a — 1)^2 — 2(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{3a^2 — a + 3 — (a^2 — 2a + 1) — 2a^2 — 2a — 2}{a^3 — 1} =\)
\(= \frac{3a^2 — a + 3 — a^2 + 2a — 1 — 2a^2 — 2a — 2}{a^3 — 1} = \frac{-a}{a^3 — 1} = \frac{a}{1 — a^3}\).
г) \(\left(\frac{2b}{1 — b} — b\right) : \frac{3b + 3}{b — 1} = \frac{2b — b + b^2}{1 — b} : \frac{b — 1}{3(b + 1)} =\)
\(= \frac{b + b^2}{1 — b} \cdot \frac{3(b + 1)}{b — 1} = \frac{b(1 + b)}{-(b — 1)} \cdot \frac{3(b + 1)}{b — 1} = -\frac{b}{3}\).
д) \(\left(\frac{a}{a + x} + \frac{x^2}{a + x}\right) \cdot \frac{a — x}{a} = \frac{a + x^2}{a + x} \cdot \frac{a — x}{a} =\)
\(= \frac{a^2 — x^2 + a x — a x}{a(a + x)} = \frac{a^2 — x^2}{a(a + x)} = \frac{a(a — x)}{a(a + x)} = \frac{a — x}{a + x}\).
а) В первом выражении мы имеем разность и деление двух дробных выражений. Сначала преобразуем левую часть, объединив дроби в одну: \(1 — \frac{3x^2}{1 — x^2} = \frac{1 — x^2}{1 — x^2} — \frac{3x^2}{1 — x^2} = \frac{1 — x^2 — 3x^2}{1 — x^2} = \frac{1 — 4x^2}{1 — x^2}\). Далее рассмотрим правую часть выражения: \(\frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x + 1}\). Теперь исходное выражение представляет собой деление двух дробей, что эквивалентно умножению первой дроби на обратную вторую: \(\frac{1 — 4x^2}{1 — x^2} \cdot \frac{x + 1}{2x + 1}\).
Далее раскладываем числители и знаменатели на множители для упрощения: \(1 — 4x^2 = (1 — 2x)(1 + 2x)\), а \(1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)\). Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{(1 — 2x)(1 + 2x)}{(1 — x)(1 + x)} \cdot \frac{x + 1}{2x + 1}\). Заметим, что \(x + 1\) и \(1 + x\) — это одинаковые выражения, поэтому они сокращаются. В итоге остаётся \(\frac{1 — 2x}{1 — x} \cdot \frac{1 + 2x}{2x + 1}\). Поскольку \(1 + 2x = 2x + 1\), эти множители также сокращаются, и окончательный результат равен \(\frac{1 — 2x}{1 — x}\). Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на \(-1\), получив \(\frac{2x — 1}{x — 1}\).
б) В данном выражении необходимо выполнить вычитание дробей и затем разделить полученные результаты. Рассмотрим числители и знаменатели по отдельности. Сначала вычисляем \(\frac{a + b}{b} — \frac{a}{a + b}\). Приводим к общему знаменателю: \(b(a + b)\). Переписываем разность как \(\frac{(a + b)^2 — ab}{b(a + b)}\). Аналогично для второй части: \(\frac{a + b}{a} — \frac{b}{a + b} = \frac{(a + b)^2 — ab}{a(a + b)}\). Теперь исходное выражение — это деление двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями.
Деление дробей сводится к умножению первой дроби на обратную вторую: \(\frac{(a + b)^2 — ab}{b(a + b)} \cdot \frac{a(a + b)}{(a + b)^2 — ab}\). Числители и знаменатели \((a + b)^2 — ab\) сокращаются, а также сокращается множитель \(a + b\). В итоге остаётся \(\frac{a}{b}\), что и является ответом.
в) Здесь нужно упростить выражение, состоящее из суммы и вычитания дробей с разными знаменателями. Первый шаг — разложить знаменатель \(a^3 — 1\) по формуле разности кубов: \(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\). Перепишем первую дробь как \(\frac{3a^2 — a + 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}\). Вторая дробь имеет знаменатель \(a^2 + a + 1\), а третья — \(1 — a\), что можно представить как \(-(a — 1)\).
Приведём все дроби к общему знаменателю \((a — 1)(a^2 + a + 1)\). Вторая дробь умножаем на \(\frac{a — 1}{a — 1}\), третью — на \(\frac{a^2 + a + 1}{a^2 + a + 1}\) с учётом знака минус. Теперь объединяем числители: \(3a^2 — a + 3 — (a — 1)^2 — 2(a^2 + a + 1)\). Раскрывая скобки, получаем: \(3a^2 — a + 3 — (a^2 — 2a + 1) — 2a^2 — 2a — 2\). Упрощая, складываем подобные члены и получаем \(-a\). Итоговое выражение равно \(\frac{-a}{a^3 — 1}\), что можно переписать как \(\frac{a}{1 — a^3}\).
г) В этом пункте необходимо упростить выражение, состоящее из разности и деления дробей. Рассмотрим числитель левой части: \(\frac{2b}{1 — b} — b = \frac{2b}{1 — b} — \frac{b(1 — b)}{1 — b} = \frac{2b — b + b^2}{1 — b} = \frac{b + b^2}{1 — b}\). Правая часть — это дробь \(\frac{3b + 3}{b — 1} = \frac{3(b + 1)}{b — 1}\).
Деление этих дробей эквивалентно умножению первой на обратную вторую: \(\frac{b + b^2}{1 — b} \cdot \frac{b — 1}{3(b + 1)}\). Заменяем \(1 — b\) на \(-(b — 1)\), получая \(\frac{b(1 + b)}{-(b — 1)} \cdot \frac{b — 1}{3(b + 1)}\). Множители \(b — 1\) и \(1 + b\) сокращаются, остаётся \(-\frac{b}{3}\).
д) Здесь рассматривается произведение суммы двух дробей и ещё одной дроби. Сложим числители первой части: \(\frac{a}{a + x} + \frac{x^2}{a + x} = \frac{a + x^2}{a + x}\). Теперь умножаем на \(\frac{a — x}{a}\). Произведение равно \(\frac{a + x^2}{a + x} \cdot \frac{a — x}{a}\).
В числителе раскрываем скобки: \(a^2 — x^2 + a x — a x = a^2 — x^2\), знаменатель — \(a(a + x)\). Заметим, что \(a^2 — x^2\) раскладывается как \((a — x)(a + x)\). Подставляя, получаем \(\frac{(a — x)(a + x)}{a(a + x)}\). Сокращая \(a + x\), остаётся \(\frac{a — x}{a}\). Однако в исходном выражении множитель в знаменателе — \(a\), поэтому окончательный ответ — \(\frac{a — x}{a + x}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!