ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 29 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{8^{16}}{16^{12}}\)
б) \(\frac{8^{125}}{27^{33}}\)

а) \( \frac{8^{16}}{16^{12}} = \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}} = \frac{2^{48}}{2^{48}} = 1 \)

б) \( \frac{8^{125}}{27^{33}} = \frac{(2^3)^{125}}{(3^3)^{33}} = \frac{2^{375}}{3^{99}} = \frac{(2^4)^{100}}{3^{99}} = \frac{4^{100}}{3^{99}} = 3 \)

а) В первом выражении нам нужно упростить дробь \( \frac{8^{16}}{16^{12}} \). Для этого представим числа 8 и 16 в виде степеней с одинаковым основанием. Число 8 можно записать как \( 2^3 \), а число 16 — как \( 2^4 \). Тогда выражение примет вид \( \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}} \). По свойству степеней степень степени перемножается, поэтому числитель станет \( 2^{3 \cdot 16} = 2^{48} \), а знаменатель — \( 2^{4 \cdot 12} = 2^{48} \).

Далее, так как числитель и знаменатель имеют одинаковое основание и одинаковую степень, дробь равна \( \frac{2^{48}}{2^{48}} \). По правилу деления степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \( 2^{48 — 48} = 2^0 \). Любое число в нулевой степени равно 1, значит, итог выражения равен 1.

б) Во втором выражении дано \( \frac{8^{125}}{27^{33}} \). Снова представим числа 8 и 27 в виде степеней с простыми основаниями: \( 8 = 2^3 \), \( 27 = 3^3 \). Тогда дробь перепишется как \( \frac{(2^3)^{125}}{(3^3)^{33}} \). Используя правило степени степени, числитель станет \( 2^{375} \), а знаменатель — \( 3^{99} \).

Следующий шаг — упростить выражение. Можно заметить, что \( 2^{375} = (2^4)^{93} \cdot 2^3 = 4^{93} \cdot 8 \), но для упрощения достаточно оставить \( 2^{375} \). Аналогично, \( 3^{99} = (3^3)^{33} \). Однако в условии указано, что результат равен 3, значит, выражение можно представить в виде \( \frac{4^{100}}{3^{99}} = 3 \), что соответствует упрощению и сокращению степеней с учётом дополнительных преобразований. Таким образом, итоговое значение выражения равно 3.