ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 292 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:
а) \(\sqrt{900}\);
б) \(\sqrt{0,01}\);
в) \(\sqrt{0,64}\);
г) \(\sqrt{\frac{121}{64}}\);
д) \(\sqrt{\frac{1}{4}}\).

а) \(\sqrt{900} = 30\)
б) \(\sqrt{0,01} = 0,1\)
в) \(\sqrt{0,64} = 0,8\)
г) \(\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}\)
д) \(\sqrt{6 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5\)

а) Корень квадратный из числа 900 вычисляется как число, которое при возведении в квадрат даст 900. Поскольку \(30 \cdot 30 = 900\), то \(\sqrt{900} = 30\). Это прямое применение определения квадратного корня, когда мы ищем такое число, квадрат которого равен подкоренному выражению.

Данное вычисление основано на свойстве степеней: \(900 = 30^2\), и поэтому извлечение корня сводится к нахождению основания степени. Таким образом, результат равен 30, что подтверждается обратным действием — возведением в квадрат.

б) Для вычисления \(\sqrt{0,01}\) нужно найти число, которое при умножении на само себя даст 0,01. Известно, что \(0,1 \cdot 0,1 = 0,01\), поэтому \(\sqrt{0,01} = 0,1\). Здесь важно помнить, что корень квадратный из десятичной дроби можно упростить, рассматривая её в виде обыкновенной дроби: \(0,01 = \frac{1}{100}\).

Извлечение корня из дроби происходит по формуле \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). В данном случае \(\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1\). Это подтверждает правильность вычисления и демонстрирует связь между десятичными и обыкновенными дробями.

в) Корень квадратный из 0,64 равен числу, квадрат которого равен 0,64. Поскольку \(0,8 \cdot 0,8 = 0,64\), то \(\sqrt{0,64} = 0,8\). Это можно проверить, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную: \(0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}\).

Тогда \(\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0,8\). Таким образом, вычисление корня квадратного из десятичной дроби удобно производить через преобразование в дробь и извлечение корней из числителя и знаменателя отдельно.

г) Для вычисления \(\sqrt{\frac{121}{64}}\) сначала извлечем корни из числителя и знаменателя по отдельности: \(\sqrt{121} = 11\), \(\sqrt{64} = 8\). Тогда \(\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{11}{8}\).

Дробь \(\frac{11}{8}\) можно представить в виде смешанного числа: \(1 \frac{3}{8}\), так как \(11 = 8 + 3\). Таким образом, корень из дроби выражается в виде неправильной дроби или смешанного числа, что удобно для понимания и дальнейших вычислений.

д) Вычислим \(\sqrt{6 \cdot \frac{1}{4}}\). Сначала произведем умножение подкоренных выражений: \(6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). Однако в условии указано, что это равно \(\sqrt{\frac{25}{4}}\), значит, возможно, в условии опечатка, либо здесь подразумевается другая операция.

Если принять, что \(\sqrt{6 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}}\), то извлечем корень из дроби: \(\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5\). Это подтверждает, что корень из дроби равен дроби, состоящей из корней числителя и знаменателя.

Таким образом, корень квадратный из произведения выражений можно упростить, выделив корни из числителя и знаменателя, что облегчает вычисление и представление результата в удобном виде.