ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 298 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Какие из чисел \(0,04; 0,025; \sqrt{0,4}; \sqrt{1,21}; \sqrt{6,4}; 0,0036; \sqrt{0,256}; \sqrt{0,16}; \sqrt{0,000001}; \sqrt{52,9}\) являются рациональными, а какие — иррациональными?

Рациональные числа — это целые, дробные числа и нуль. Иррациональные числа — это числа, которые не могут
быть представлены в виде обыкновенной дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m \in Z, n \in N\).

\(\sqrt{0,04} = 0,2 \Rightarrow\) рациональное число;
\(\sqrt{0,025} \Rightarrow\) иррациональное число;
\(\sqrt{0,4} \Rightarrow\) иррациональное число;
\(\sqrt{1,21} = 1,1 \Rightarrow\) рациональное число;
\(\sqrt{6,4} \Rightarrow\) иррациональное число;
\(\sqrt{0,0036} = 0,06 \Rightarrow\) рациональное число;
\(\sqrt{0,256} \Rightarrow\) иррациональное число;
\(\sqrt{0,16} = 0,4 \Rightarrow\) рациональное число;
\(\sqrt{0,000001} = 0,001 \Rightarrow\) рациональное число;
\(\sqrt{52,9} \Rightarrow\) иррациональное число.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число (принадлежит множеству \(Z\)), а \(n\) — натуральное число (принадлежит множеству \(N\)). К рациональным числам относятся целые числа, дробные числа и число ноль. Это значит, что если число можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, то оно рационально. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в такой форме.

Рассмотрим примеры из условия, чтобы понять, какие числа рациональные, а какие — иррациональные. Начнем с \(\sqrt{0,04}\). Корень из десятичной дроби \(0,04\) равен \(0,2\), и это число можно представить как дробь \(\frac{1}{5}\), то есть оно рационально. Аналогично, \(\sqrt{1,21} = 1,1\), а \(1,1 = \frac{11}{10}\), что также рационально. В этих случаях подкоренное выражение является квадратом рационального числа, поэтому и корень получается рациональным.

Если же подкоренное число не является квадратом рационального числа, то корень будет иррациональным. Например, \(\sqrt{0,025}\) — это корень из числа, которое не является точным квадратом рационального числа, и поэтому результат иррационален. То же самое относится к \(\sqrt{0,4}\) и \(\sqrt{6,4}\), так как эти числа не имеют рациональных квадратных корней. Такие числа нельзя выразить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), и они называются иррациональными.

Далее рассмотрим \(\sqrt{0,0036}\). Подкоренное число — десятичная дробь, представляющая квадрат числа \(0,06\), так как \(0,06^2 = 0,0036\). Значит, \(\sqrt{0,0036} = 0,06\) — рациональное число. Аналогично \(\sqrt{0,16} = 0,4\) и \(\sqrt{0,000001} = 0,001\), так как эти числа являются квадратами рациональных чисел. Если число под корнем можно представить в виде квадрата дроби \(\frac{m}{n}\), то корень из него будет рациональным.

В случае \(\sqrt{0,256}\) результат иррационален, поскольку \(0,256\) не является квадратом рационального числа. Последний пример — \(\sqrt{52,9}\) — также иррациональное число, так как нет рационального числа, квадрат которого равен \(52,9\).

Таким образом, чтобы определить, рационально число или иррационально, необходимо проверить, можно ли представить подкоренное число в виде квадрата рационального числа. Если да, то корень рационален, если нет — иррационален. Это основной критерий для разделения чисел на рациональные и иррациональные в приведенных примерах.