Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 299 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Приведите контрпример для утверждения:
а) при любом натуральном значении \(n\) значение выражения \(\sqrt{11 — n}\) является иррациональным числом;
б) при любом натуральном значении \(n\) значение выражения \(\sqrt{25 — n}\) является иррациональным числом.
а) При любом натуральном значении \( n \) значение выражения
\(\sqrt{11 — n}\) является иррациональным числом \(\Rightarrow\) неверно.
Контрпример:
при \( n = 11 \) значение выражения равно нулю, значит, является рациональным числом.
б) При любом натуральном значении \( n \) значение выражения
\(\sqrt{25 — n}\) является иррациональным числом \(\Rightarrow\) неверно.
Контрпример:
при \( n = 9 \) значение выражения равно \(\sqrt{16} = 4\), значит, является рациональным числом.
а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{11 — n}\), где \(n\) — натуральное число. Утверждается, что при любом натуральном \(n\) это выражение является иррациональным числом. Чтобы проверить это, нужно понять, может ли подкоренное выражение \(11 — n\) принимать значения, являющиеся квадратами целых чисел, так как корень из полного квадрата — рациональное число. Если существует хотя бы одно \(n\), при котором \(11 — n\) — полный квадрат, утверждение будет неверным.
Для проверки возьмём конкретное значение \(n = 11\). Подкоренное выражение будет равно \(11 — 11 = 0\). Корень из нуля равен нулю, то есть \(\sqrt{0} = 0\), и это рациональное число. Таким образом, при \(n = 11\) выражение принимает рациональное значение, что служит контрпримером к исходному утверждению. Следовательно, утверждение, что при любом натуральном \(n\) \(\sqrt{11 — n}\) иррационально, неверно.
Кроме того, можно рассмотреть и другие значения \(n\), при которых \(11 — n\) будет равняться квадрату целого числа, например, \(1, 4, 9\). При таких значениях корень будет равен \(1, 2, 3\) соответственно, что также рациональные числа. Это дополнительно подтверждает, что выражение не всегда иррационально.
б) Аналогично рассмотрим выражение \(\sqrt{25 — n}\) при натуральном \(n\). Утверждается, что при любом \(n\) это выражение иррационально. Для проверки нужно найти значения \(n\), при которых \(25 — n\) является полным квадратом, и корень от него рационален. Если такие значения существуют, утверждение будет неверным.
Возьмём \(n = 9\). Тогда подкоренное выражение равно \(25 — 9 = 16\). Корень из 16 равен 4, то есть \(\sqrt{16} = 4\), что является рациональным числом. Это конкретный контрпример, который опровергает исходное утверждение, показывая, что при некоторых \(n\) выражение \(\sqrt{25 — n}\) рационально.
Также можно проверить другие значения \(n\), например, \(n = 0, 1, 9, 16, 24\), при которых \(25 — n\) равно \(25, 24, 16, 9, 1\) соответственно. Из них \(25, 16, 9, 1\) — полные квадраты, а корни из них — рациональные числа \(5, 4, 3, 1\). Это дополнительно доказывает, что выражение не всегда иррационально.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!