ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 299 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Приведите контрпример для утверждения:
а) при любом натуральном значении \(n\) значение выражения \(\sqrt{11 — n}\) является иррациональным числом;
б) при любом натуральном значении \(n\) значение выражения \(\sqrt{25 — n}\) является иррациональным числом.

а) При любом натуральном значении \( n \) значение выражения
\(\sqrt{11 — n}\) является иррациональным числом \(\Rightarrow\) неверно.
Контрпример:
при \( n = 11 \) значение выражения равно нулю, значит, является рациональным числом.

б) При любом натуральном значении \( n \) значение выражения
\(\sqrt{25 — n}\) является иррациональным числом \(\Rightarrow\) неверно.
Контрпример:
при \( n = 9 \) значение выражения равно \(\sqrt{16} = 4\), значит, является рациональным числом.

а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{11 — n}\), где \(n\) — натуральное число. Утверждается, что при любом натуральном \(n\) это выражение является иррациональным числом. Чтобы проверить это, нужно понять, может ли подкоренное выражение \(11 — n\) принимать значения, являющиеся квадратами целых чисел, так как корень из полного квадрата — рациональное число. Если существует хотя бы одно \(n\), при котором \(11 — n\) — полный квадрат, утверждение будет неверным.

Для проверки возьмём конкретное значение \(n = 11\). Подкоренное выражение будет равно \(11 — 11 = 0\). Корень из нуля равен нулю, то есть \(\sqrt{0} = 0\), и это рациональное число. Таким образом, при \(n = 11\) выражение принимает рациональное значение, что служит контрпримером к исходному утверждению. Следовательно, утверждение, что при любом натуральном \(n\) \(\sqrt{11 — n}\) иррационально, неверно.

Кроме того, можно рассмотреть и другие значения \(n\), при которых \(11 — n\) будет равняться квадрату целого числа, например, \(1, 4, 9\). При таких значениях корень будет равен \(1, 2, 3\) соответственно, что также рациональные числа. Это дополнительно подтверждает, что выражение не всегда иррационально.

б) Аналогично рассмотрим выражение \(\sqrt{25 — n}\) при натуральном \(n\). Утверждается, что при любом \(n\) это выражение иррационально. Для проверки нужно найти значения \(n\), при которых \(25 — n\) является полным квадратом, и корень от него рационален. Если такие значения существуют, утверждение будет неверным.

Возьмём \(n = 9\). Тогда подкоренное выражение равно \(25 — 9 = 16\). Корень из 16 равен 4, то есть \(\sqrt{16} = 4\), что является рациональным числом. Это конкретный контрпример, который опровергает исходное утверждение, показывая, что при некоторых \(n\) выражение \(\sqrt{25 — n}\) рационально.

Также можно проверить другие значения \(n\), например, \(n = 0, 1, 9, 16, 24\), при которых \(25 — n\) равно \(25, 24, 16, 9, 1\) соответственно. Из них \(25, 16, 9, 1\) — полные квадраты, а корни из них — рациональные числа \(5, 4, 3, 1\). Это дополнительно доказывает, что выражение не всегда иррационально.