ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 305 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) При каком значении переменной \(x\) верно равенство:
а) \(\sqrt{x} = 11\);
б) \(10 \sqrt{x} = 3\);
в) \(\sqrt{x} = -20\);
г) \(2 \sqrt{x} — 1 = 0\);
д) \(5 — \sqrt{x} = 0\);
е) \(2 + \sqrt{x} = 0\)?

1) Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях \(x\). Исключите их из рассмотрения.
2) Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

а) \(\sqrt{x} = 11 \Rightarrow x = 11^2 = 121\)
б) \(10\sqrt{x} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{10} \Rightarrow x = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}\)
в) \(\sqrt{x} = -20\)
не существует такого \(x\)
г) \(2\sqrt{x} — 1 = 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
д) \(5 — \sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 5^2 = 25\)
е) \(2 + \sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = -2\)
не существует такого \(x\)

а) Начинаем с уравнения \(\sqrt{x} = 11\). По определению квадратного корня, это означает, что число \(x\) — это такое число, квадрат которого равен 11 в квадрате. Чтобы найти \(x\), нужно возвести обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = 11^2\). Левая часть уравнения становится просто \(x\), так как квадрат и корень взаимно уничтожают друг друга. Правая часть равна \(121\), так как \(11^2 = 121\). Таким образом, получаем \(x = 121\).

Это решение корректно, так как квадратный корень по определению берется только из неотрицательных чисел, и \(121\) действительно неотрицательно. Проверка: \(\sqrt{121} = 11\), что совпадает с исходным уравнением. Значит, ответ правильный и единственный.

б) Уравнение \(10\sqrt{x} = 3\) требует сначала изолировать корень. Для этого обе части делим на 10: \(\sqrt{x} = \frac{3}{10}\). Чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = \left(\frac{3}{10}\right)^2\). Левая часть становится \(x\), правая — \(\frac{9}{100}\). Получаем \(x = \frac{9}{100}\).

Так как \(x\) неотрицательно и находится под корнем, значение \(\frac{9}{100}\) подходит. Проверим: \(\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10}\), и умножая на 10, получаем исходное число 3.

в) Рассматриваем уравнение \(\sqrt{x} = -20\). По определению, квадратный корень из числа не может быть отрицательным, так как корень — это неотрицательное число. Следовательно, нет такого \(x\), для которого \(\sqrt{x} = -20\). Это значит, что решение отсутствует, множество решений пусто: \(\emptyset\).

г) Уравнение \(2\sqrt{x} — 1 = 0\) решаем, сначала перенесем 1 вправо: \(2\sqrt{x} = 1\). Дальше делим на 2: \(\sqrt{x} = \frac{1}{2}\). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \((\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2\), получаем \(x = \frac{1}{4}\).

Проверяем корректность: \(x = \frac{1}{4}\) — положительное число, под корнем все верно. Корень из \(\frac{1}{4}\) равен \(\frac{1}{2}\), умноженный на 2 даст 1, что соответствует исходному уравнению.

д) Уравнение \(5 — \sqrt{x} = 0\) решаем, сначала переносим корень в правую часть: \(\sqrt{x} = 5\). Возводим обе части в квадрат: \(x = 5^2 = 25\).

Проверяем: \(\sqrt{25} = 5\) — это верно, значит, \(x = 25\) является решением.

е) Уравнение \(2 + \sqrt{x} = 0\) преобразуем, чтобы выразить корень: \(\sqrt{x} = -2\). Поскольку корень не может быть отрицательным, решений нет, множество решений пусто: \(\emptyset\).