ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 308 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:
а) \(\sqrt{12 + x} — 7 = 3\);
б) \(\sqrt{5x — 1} — 4 = 6\);
в) \(16 — \sqrt{x — 2} = 7\);
г) \(12 — \sqrt{3 — 6x} = -2\).

а) \(\sqrt{12 + x} — 7 = 3\)
\(\sqrt{12 + x} = 3 + 7\)
\(\sqrt{12 + x} = 10\)
\(12 + x = 10^2\)
\(12 + x = 100\)
\(x = 100 — 12\)
\(x = 88.\)
Ответ: \(x = 88.\)

б) \(\sqrt{5x — 1} — 4 = 6\)
\(\sqrt{5x — 1} = 6 + 4\)
\(\sqrt{5x — 1} = 10\)
\(5x — 1 = 10^2\)
\(5x — 1 = 100\)
\(5x = 100 + 1\)
\(5x = 101\)
\(x = \frac{101}{5}\)
\(x = 20,2.\)
Ответ: \(x = 20,2.\)

в) \(16 — \sqrt{x — 2} = 7\)
\(\sqrt{x — 2} = 16 — 7\)
\(\sqrt{x — 2} = 9\)
\(x — 2 = 9^2\)
\(x — 2 = 81\)
\(x = 81 + 2\)
\(x = 83.\)
Ответ: \(x = 83.\)

г) \(12 — \sqrt{3 — 6x} = -2\)
\(\sqrt{3 — 6x} = 12 + 2\)
\(\sqrt{3 — 6x} = 14\)
\(3 — 6x = 14^2\)
\(3 — 6x = 196\)
\(6x = 3 — 196\)
\(6x = -193\)
\(x = \frac{-193}{6}\)
\(x = -32 \frac{1}{6}.\)
Ответ: \(x = -32 \frac{1}{6}.\)

а) Начинаем с уравнения \(\sqrt{12 + x} — 7 = 3\). Чтобы избавиться от отрицательного слагаемого, переносим \(-7\) вправо, прибавляя 7 к обеим частям уравнения: \(\sqrt{12 + x} = 3 + 7\). Это действие оправдано тем, что мы хотим изолировать корень, чтобы затем возвести обе части уравнения в квадрат и избавиться от радикала. После сложения получаем \(\sqrt{12 + x} = 10\).

Далее возводим обе части уравнения в квадрат, так как квадратный корень и возведение в квадрат — обратные операции: \(12 + x = 10^2\). Вычисляем квадрат числа 10, получаем \(12 + x = 100\). Чтобы найти \(x\), вычитаем 12 из обеих частей: \(x = 100 — 12\), что дает \(x = 88\). Это решение проверяет исходное уравнение, так как подкоренное выражение положительно, и корень определён.

б) Исходное уравнение \(\sqrt{5x — 1} — 4 = 6\) требует сначала изоляции корня. Для этого переносим \(-4\) вправо, прибавляя 4: \(\sqrt{5x — 1} = 6 + 4\). Складываем правую часть: \(\sqrt{5x — 1} = 10\). Теперь возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: \(5x — 1 = 10^2\), или \(5x — 1 = 100\).

Далее решаем линейное уравнение: прибавляем 1 к обеим частям, получаем \(5x = 101\). Делим обе части на 5, чтобы найти \(x\): \(x = \frac{101}{5}\). В десятичном виде это \(x = 20{,}2\). Проверка показывает, что подкоренное выражение положительно, поэтому корень определён, и решение верно.

в) Рассмотрим уравнение \(16 — \sqrt{x — 2} = 7\). Для начала изолируем корень, перенеся \(-\sqrt{x — 2}\) вправо и 7 влево: \(\sqrt{x — 2} = 16 — 7\). Вычисляем разность: \(\sqrt{x — 2} = 9\). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(x — 2 = 9^2\), что даёт \(x — 2 = 81\).

Чтобы найти \(x\), прибавляем 2 к обеим частям: \(x = 81 + 2\), получаем \(x = 83\). Подставляя обратно, видим, что подкоренное выражение положительно, корень существует, и решение корректно.

г) В уравнении \(12 — \sqrt{3 — 6x} = -2\) сначала переносим корень вправо, а число \(-2\) влево: \(\sqrt{3 — 6x} = 12 + 2\). Складываем: \(\sqrt{3 — 6x} = 14\). Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: \(3 — 6x = 14^2\), или \(3 — 6x = 196\).

Решаем уравнение относительно \(x\): вычитаем 3 из обеих частей, получаем \(-6x = 196 — 3\), то есть \(-6x = 193\). Делим обе части на \(-6\), чтобы найти \(x\): \(x = \frac{-193}{6}\). В смешанном виде это \(x = -32 \frac{1}{6}\). Подставляя обратно, видим, что подкоренное выражение положительно, значит корень определён, и решение верно.