ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 309 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(1,5x^3 y^2 — 6,2xy\), если \(x = 1,25\), \(y = 4\).

\(1,5x^3y^2 \cdot 6,2xy = 1,5 \cdot 6,2 x^{3+1} y^{2+1} = 9,3 x^4 y^3 \quad \text{при} \quad x = 1,25, \quad y = 4:\)

\(9,3 \cdot 1,25^4 \cdot 4^3 = \frac{93}{10} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^4 \cdot 4^3 = \frac{93 \cdot 5^4 \cdot 4^3}{10 \cdot 4^4} = \frac{93 \cdot 5^4}{10 \cdot 4} = \frac{93 \cdot 5^4}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{93 \cdot 5^3}{8} =\)

\(= \frac{93 \cdot 125}{8} = 1453,125\)

\(1,5x^3y^2 \cdot 6,2xy\) — это произведение двух выражений с переменными \(x\) и \(y\), каждое из которых возведено в степень. Для упрощения сначала перемножим числовые коэффициенты: \(1,5 \cdot 6,2 = 9,3\). Затем применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: при умножении степеней с одинаковой переменной показатели степеней складываются, то есть \(x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4\) и \(y^2 \cdot y^1 = y^{2+1} = y^3\). Таким образом, исходное выражение преобразуется в \(9,3 x^4 y^3\).

Далее подставим заданные значения переменных: \(x = 1,25\) и \(y = 4\). Выражение принимает вид \(9,3 \cdot (1,25)^4 \cdot 4^3\). Для вычисления степени \(1,25^4\) можно представить \(1,25\) как дробь \(\frac{5}{4}\), что упростит вычисления. Тогда \(1,25^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{5^4}{4^4}\). Аналогично \(4^3 = 4^3\). Подставляя это, получаем \(9,3 \cdot \frac{5^4}{4^4} \cdot 4^3\).

Теперь упростим выражение, сократив степени одинаковых оснований. Так как у нас есть \(4^4\) в знаменателе и \(4^3\) в числителе, то \(4^3\) сократится с \(4^4\), оставляя в знаменателе \(4^{4-3} = 4^1 = 4\). Таким образом, выражение становится \(9,3 \cdot \frac{5^4}{4}\). Для удобства представим \(9,3\) как дробь \(\frac{93}{10}\), тогда выражение будет \(\frac{93}{10} \cdot \frac{5^4}{4} = \frac{93 \cdot 5^4}{10 \cdot 4}\).

Число \(5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\). Подставляем это значение: \(\frac{93 \cdot 625}{40}\). Далее упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: \(\frac{93 \cdot 125}{8}\). Теперь произведем умножение в числителе: \(93 \cdot 125\).

Для удобства вычислим \(93 \cdot 125\) по частям: \(93 \cdot 100 = 9300\), \(93 \cdot 25 = 2325\), сумма \(9300 + 2325 = 11625\). Подставляем обратно: \(\frac{11625}{8}\).

Наконец, делим \(11625\) на \(8\): \(11625 \div 8 = 1453,125\). Это и есть значение исходного выражения при заданных значениях \(x\) и \(y\).

Итоговое вычисление показывает, что выражение \(1,5x^3y^2 \cdot 6,2xy\) при \(x = 1,25\) и \(y = 4\) равно \(1453,125\). В процессе решения мы использовали правила умножения степеней, преобразование десятичных чисел в дроби для удобства вычислений, а также сокращение степеней с одинаковыми основаниями.