Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 31 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:
а) \(\frac{3a + 12b}{6ab}\)
б) \(\frac{2a — 4}{3(a-2)}\)
в) \(\frac{a^2 — 3ab}{6}\)
г) \(\frac{15b — 20c}{10b}\)
д) \(\frac{5x(y+2)}{6y + 12}\)
е) \(\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}\)
а) \(\frac{3a + 12b}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{3 \cdot 2ab} = \frac{a + 4b}{2ab}\)
б) \(\frac{15b — 20c}{10b} = \frac{5(3b — 4c)}{5 \cdot 2b} = \frac{3b — 4c}{2b}\)
в) \(\frac{2a — 4}{3(a — 2)} = \frac{2(a — 2)}{3(a — 2)} = \frac{2}{3}\)
г) \(\frac{5x(y + 2)}{6y + 12} = \frac{5x \cdot (y + 2)}{6 \cdot (y + 2)} = \frac{5x}{6}\)
д) \(\frac{a — 3b}{a^2 — 3ab} = \frac{a — 3b}{a(a — 3b)} = \frac{1}{a}\)
е) \(\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y} = \frac{3x(x + 5y)}{x + 5y} = 3x\)
а) В числителе дроби \( \frac{3a + 12b}{6ab} \) можно вынести общий множитель 3, так как и \(3a\), и \(12b\) делятся на 3. Получаем \(3(a + 4b)\). В знаменателе \(6ab\) раскладываем на множители как \(3 \cdot 2ab\). Теперь дробь записывается как \( \frac{3(a + 4b)}{3 \cdot 2ab} \). Поскольку множитель 3 есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, так как \( \frac{3}{3} = 1 \). В итоге остается \( \frac{a + 4b}{2ab} \).
Это упрощение возможно за счет свойства дробей: если числитель и знаменатель имеют общий множитель, его можно сократить, не изменяя значение дроби. Таким образом, мы избавились от лишнего множителя 3 и привели дробь к более простому виду.
б) В дроби \( \frac{15b — 20c}{10b} \) в числителе можно вынести общий множитель 5, так как \(15b\) и \(20c\) делятся на 5. Получаем \(5(3b — 4c)\). Знаменатель \(10b\) раскладываем как \(5 \cdot 2b\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5(3b — 4c)}{5 \cdot 2b} \). Сокращаем множитель 5 в числителе и знаменателе, получая \( \frac{3b — 4c}{2b} \).
Такое сокращение основано на том, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно убрать, не меняя значение дроби. В результате дробь становится проще и удобнее для дальнейших вычислений.
в) В числителе дроби \( \frac{2a — 4}{3(a — 2)} \) можно вынести множитель 2 из выражения \(2a — 4\), так как оба слагаемых делятся на 2. Получаем \(2(a — 2)\). Знаменатель уже записан как \(3(a — 2)\). Теперь дробь выглядит как \( \frac{2(a — 2)}{3(a — 2)} \). Поскольку множитель \(a — 2\) есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить при условии, что \(a \neq 2\), чтобы не делить на ноль. После сокращения остается \( \frac{2}{3} \).
Это упрощение позволяет избавиться от общего множителя в числителе и знаменателе, что значительно облегчает работу с дробью. Важно помнить о запрете деления на ноль при сокращении.
г) В выражении \( \frac{5x(y + 2)}{6y + 12} \) знаменатель можно разложить на множители: \(6y + 12 = 6(y + 2)\). Числитель уже представлен в виде \(5x(y + 2)\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)} \). Множитель \(y + 2\) можно сократить, если \(y \neq -2\), чтобы избежать деления на ноль. После сокращения остается \( \frac{5x}{6} \).
Такое действие упрощает дробь, устраняя повторяющийся множитель. Сокращение помогает привести выражение к более компактной форме.
д) В дроби \( \frac{a — 3b}{a^2 — 3ab} \) знаменатель раскладываем на множители, выделяя общий множитель \(a\): \(a^2 — 3ab = a(a — 3b)\). Числитель остается \(a — 3b\). Теперь дробь записывается как \( \frac{a — 3b}{a(a — 3b)} \). Множитель \(a — 3b\) можно сократить, если \(a — 3b \neq 0\), то есть \(a \neq 3b\). После сокращения остается \( \frac{1}{a} \).
Это упрощение показывает, как важно искать общие множители в числителе и знаменателе для сокращения дроби и упрощения выражения.
е) В числителе дроби \( \frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y} \) можно вынести общий множитель \(3x\), так как оба слагаемых делятся на \(3x\). Получаем \(3x(x + 5y)\). Знаменатель уже записан как \(x + 5y\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{3x(x + 5y)}{x + 5y} \). Множитель \(x + 5y\) можно сократить при условии, что \(x \neq -5y\), чтобы не делить на ноль. После сокращения остается \(3x\).
Такое преобразование облегчает вычисления и делает выражение более понятным и компактным. Сокращение общих множителей — важный навык при работе с алгебраическими дробями.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!