ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 31 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:
а) \(\frac{3a + 12b}{6ab}\)
б) \(\frac{2a — 4}{3(a-2)}\)
в) \(\frac{a^2 — 3ab}{6}\)
г) \(\frac{15b — 20c}{10b}\)
д) \(\frac{5x(y+2)}{6y + 12}\)
е) \(\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}\)

а) \(\frac{3a + 12b}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{3 \cdot 2ab} = \frac{a + 4b}{2ab}\)

б) \(\frac{15b — 20c}{10b} = \frac{5(3b — 4c)}{5 \cdot 2b} = \frac{3b — 4c}{2b}\)

в) \(\frac{2a — 4}{3(a — 2)} = \frac{2(a — 2)}{3(a — 2)} = \frac{2}{3}\)

г) \(\frac{5x(y + 2)}{6y + 12} = \frac{5x \cdot (y + 2)}{6 \cdot (y + 2)} = \frac{5x}{6}\)

д) \(\frac{a — 3b}{a^2 — 3ab} = \frac{a — 3b}{a(a — 3b)} = \frac{1}{a}\)

е) \(\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y} = \frac{3x(x + 5y)}{x + 5y} = 3x\)

а) В числителе дроби \( \frac{3a + 12b}{6ab} \) можно вынести общий множитель 3, так как и \(3a\), и \(12b\) делятся на 3. Получаем \(3(a + 4b)\). В знаменателе \(6ab\) раскладываем на множители как \(3 \cdot 2ab\). Теперь дробь записывается как \( \frac{3(a + 4b)}{3 \cdot 2ab} \). Поскольку множитель 3 есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, так как \( \frac{3}{3} = 1 \). В итоге остается \( \frac{a + 4b}{2ab} \).

Это упрощение возможно за счет свойства дробей: если числитель и знаменатель имеют общий множитель, его можно сократить, не изменяя значение дроби. Таким образом, мы избавились от лишнего множителя 3 и привели дробь к более простому виду.

б) В дроби \( \frac{15b — 20c}{10b} \) в числителе можно вынести общий множитель 5, так как \(15b\) и \(20c\) делятся на 5. Получаем \(5(3b — 4c)\). Знаменатель \(10b\) раскладываем как \(5 \cdot 2b\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5(3b — 4c)}{5 \cdot 2b} \). Сокращаем множитель 5 в числителе и знаменателе, получая \( \frac{3b — 4c}{2b} \).

Такое сокращение основано на том, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно убрать, не меняя значение дроби. В результате дробь становится проще и удобнее для дальнейших вычислений.

в) В числителе дроби \( \frac{2a — 4}{3(a — 2)} \) можно вынести множитель 2 из выражения \(2a — 4\), так как оба слагаемых делятся на 2. Получаем \(2(a — 2)\). Знаменатель уже записан как \(3(a — 2)\). Теперь дробь выглядит как \( \frac{2(a — 2)}{3(a — 2)} \). Поскольку множитель \(a — 2\) есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить при условии, что \(a \neq 2\), чтобы не делить на ноль. После сокращения остается \( \frac{2}{3} \).

Это упрощение позволяет избавиться от общего множителя в числителе и знаменателе, что значительно облегчает работу с дробью. Важно помнить о запрете деления на ноль при сокращении.

г) В выражении \( \frac{5x(y + 2)}{6y + 12} \) знаменатель можно разложить на множители: \(6y + 12 = 6(y + 2)\). Числитель уже представлен в виде \(5x(y + 2)\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)} \). Множитель \(y + 2\) можно сократить, если \(y \neq -2\), чтобы избежать деления на ноль. После сокращения остается \( \frac{5x}{6} \).

Такое действие упрощает дробь, устраняя повторяющийся множитель. Сокращение помогает привести выражение к более компактной форме.

д) В дроби \( \frac{a — 3b}{a^2 — 3ab} \) знаменатель раскладываем на множители, выделяя общий множитель \(a\): \(a^2 — 3ab = a(a — 3b)\). Числитель остается \(a — 3b\). Теперь дробь записывается как \( \frac{a — 3b}{a(a — 3b)} \). Множитель \(a — 3b\) можно сократить, если \(a — 3b \neq 0\), то есть \(a \neq 3b\). После сокращения остается \( \frac{1}{a} \).

Это упрощение показывает, как важно искать общие множители в числителе и знаменателе для сокращения дроби и упрощения выражения.

е) В числителе дроби \( \frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y} \) можно вынести общий множитель \(3x\), так как оба слагаемых делятся на \(3x\). Получаем \(3x(x + 5y)\). Знаменатель уже записан как \(x + 5y\). Теперь дробь принимает вид \( \frac{3x(x + 5y)}{x + 5y} \). Множитель \(x + 5y\) можно сократить при условии, что \(x \neq -5y\), чтобы не делить на ноль. После сокращения остается \(3x\).

Такое преобразование облегчает вычисления и делает выражение более понятным и компактным. Сокращение общих множителей — важный навык при работе с алгебраическими дробями.