ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 311 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Запишите без знака модуля:
а) \(|a|\), где \(a > 0\);
б) \(|a^2|\);
в) \(|c|\), где \(c < 0\); г) \(|a^3|\), где \(a > 0\);
д) \(|a^3|\), где \(a < 0\).

а) \(|a| = a, \text{ если } a > 0;\)
б) \(|c| = -c, \text{ если } c < 0;\) в) \(|a^2| = a^2;\) г) \(|a^3| = a^3, \text{ если } a > 0;\)
д) \(|a^3| = -a^3, \text{ если } a < 0.\)

а) Модуль числа \(a\), обозначаемый как \(|a|\), определяется как само число \(a\), если оно положительно, то есть \(a > 0\). Это связано с тем, что модуль по определению — это расстояние от нуля на числовой оси, а расстояние всегда неотрицательно. Если \(a\) положительно, то его расстояние от нуля совпадает с самим числом, следовательно, \(|a| = a\).

При этом важно понимать, что условие \(a > 0\) исключает нулевой случай и отрицательные значения, так как для них формула меняется. Таким образом, при \(a > 0\) модуль не изменяет знак числа, а просто возвращает его.

б) Для отрицательного числа \(c\), то есть когда \(c < 0\), модуль \(|c|\) равен противоположному числу \(-c\). Это происходит потому, что модуль — это неотрицательное значение, а \(c\) отрицательно, значит, чтобы получить положительный результат, нужно взять противоположное число. Например, если \(c = -5\), то \(|c| = -(-5) = 5\). Это правило гарантирует, что результат модуля всегда неотрицателен, независимо от исходного знака числа. Таким образом, при \(c < 0\) модуль меняет знак числа на противоположный. в) При возведении числа \(a\) в квадрат, то есть к степени 2, выражение \(|a^2|\) всегда равно \(a^2\), независимо от знака \(a\). Это связано с тем, что \(a^2\) уже неотрицательно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Следовательно, модуль от квадрата числа не изменяет его значение, так как \(a^2 \geq 0\) для всех \(a\). Это значит, что \(|a^2| = a^2\) без дополнительных условий. г) Для куба числа \(a\), если \(a > 0\), модуль \(|a^3|\) равен самому числу \(a^3\). Это объясняется тем, что при положительном \(a\) куб также положителен, и модуль не меняет знак. То есть, если \(a\) положительно, то \(|a^3| = a^3\).

Здесь важно условие \(a > 0\), так как для отрицательных значений куб меняет знак, и модуль будет равен противоположному числу. При положительном \(a\) модуль просто возвращает исходное значение.

д) Если \(a < 0\), то куб числа \(a\) отрицателен, так как возведение отрицательного числа в нечетную степень сохраняет знак минус. В этом случае модуль \(|a^3|\) равен \(-a^3\), то есть противоположному числу, чтобы результат был положительным. Таким образом, при \(a < 0\) модуль меняет знак куба числа на противоположный, обеспечивая неотрицательный результат. Это соответствует определению модуля как расстояния от нуля, которое не может быть отрицательным.