ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 312 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Имеет ли корни уравнение:
a) \(x^2 = 81\); б) \(x^2 = 18\); в) \(x^2 = 0\); г) \(x^2 = -25\)?

а) \(x^2 = 81 \Rightarrow x = \pm 9\)
б) \(x^2 = 18 \Rightarrow x = \pm \sqrt{18} \Rightarrow x = \pm 3\sqrt{2}\)
в) \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)
г) \(x^2 = -25 \Rightarrow\) корней нет (\(\emptyset\)).

а) Уравнение \(x^2 = 81\) означает, что квадрат числа \(x\) равен 81. Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. При этом учитываем, что квадрат любого числа может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому результатом будут два значения: положительное и отрицательное. Таким образом, \(x = \pm \sqrt{81}\). Поскольку \(\sqrt{81} = 9\), получаем \(x = \pm 9\).

Это означает, что \(x\) может принимать значения либо 9, либо -9, так как оба числа в квадрате дают 81. Такой подход связан с тем, что возведение в квадрат устраняет знак числа, поэтому при обратном действии — извлечении корня — необходимо учитывать оба знака.

б) В уравнении \(x^2 = 18\) мы также ищем число \(x\), квадрат которого равен 18. Аналогично первому случаю, берем квадратный корень из обеих частей уравнения: \(x = \pm \sqrt{18}\). Число 18 не является полным квадратом, поэтому его корень можно упростить, разложив подкоренное выражение на множители: \(18 = 9 \times 2\). Следовательно, \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Значит, \(x = \pm 3\sqrt{2}\).

Таким образом, решения включают два значения: \(3\sqrt{2}\) и \(-3\sqrt{2}\). Это объясняется тем, что возведение любого из них в квадрат даст исходное число 18.

в) Уравнение \(x^2 = 0\) говорит о том, что квадрат числа \(x\) равен нулю. Единственное число, квадрат которого равен нулю — это само ноль. Поэтому, чтобы найти \(x\), достаточно понять, что \(x = 0\).

В данном случае нет двух значений, как в предыдущих примерах, потому что ноль — единственное число, которое при возведении в квадрат не меняется и даёт ноль. Это простое уравнение, и его решение однозначно.

г) Уравнение \(x^2 = -25\) требует найти число \(x\), квадрат которого равен отрицательному числу -25. Однако квадрат любого вещественного числа всегда неотрицателен, то есть либо равен нулю, либо положителен. Следовательно, уравнение не имеет решений в множестве вещественных чисел.

Если рассматривать только вещественные числа, то корней уравнения нет, что обозначается символом пустого множества \(\emptyset\). В комплексных числах решение существует, но в данном контексте оно не рассматривается.