ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 313 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
a) \(x^2 = 36\); в) \(x^2 = 121\); д) \(x^2 = 8\);
б) \(x^2 = 0,49\); г) \(x^2 = 11\); е) \(x^2 = 2,5\).

а) \(x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6\)
б) \(x^2 = 0,49 \Rightarrow x = \pm 0,7\)
в) \(x^2 = 121 \Rightarrow x = \pm 11\)
г) \(x^2 = 11 \Rightarrow x = \pm \sqrt{11}\)
д) \(x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}\)
е) \(x^2 = 2,5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2,5} \Rightarrow x = \pm 5\sqrt{0,1}\)

а) Уравнение \(x^2 = 36\) означает, что квадрат числа \(x\) равен 36. Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. При этом учитываем, что квадрат любого числа положителен, поэтому \(x\) может быть как положительным, так и отрицательным числом. Извлекая корень, получаем \(x = \pm \sqrt{36}\). Поскольку \(\sqrt{36} = 6\), окончательно имеем \(x = \pm 6\).

Таким образом, два решения: \(x = 6\) и \(x = -6\). Это связано с тем, что возведение в квадрат устраняет знак числа, и исходное число могло быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому при решении квадратных уравнений всегда учитываем оба знака.

б) Рассмотрим уравнение \(x^2 = 0,49\). Аналогично предыдущему случаю, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Получаем \(x = \pm \sqrt{0,49}\). Корень из 0,49 равен 0,7, так как \(0,7^2 = 0,49\). Следовательно, \(x = \pm 0,7\).

Здесь также два решения: положительное и отрицательное значение. Это стандартный способ решения уравнений вида \(x^2 = a\), где \(a\) — положительное число. Если бы \(a\) было отрицательным, то в действительных числах решений не было бы.

в) Уравнение \(x^2 = 121\) решается тем же методом. Извлекаем корень: \(x = \pm \sqrt{121}\). Поскольку \(\sqrt{121} = 11\), получаем \(x = \pm 11\).

Опять же, учитываем оба знака, так как возведение в квадрат убирает знак числа. Это классический пример решения квадратного уравнения с целым числом.

г) В случае \(x^2 = 11\) число под корнем не является точным квадратом целого числа, поэтому оставляем корень в виде иррационального числа: \(x = \pm \sqrt{11}\).

Это означает, что решения — два числа, положительное и отрицательное, которые при возведении в квадрат дадут 11. При необходимости можно приблизительно вычислить значение корня, но точное решение записывается именно так.

д) Для уравнения \(x^2 = 8\) извлекаем корень: \(x = \pm \sqrt{8}\). Число 8 можно представить как \(4 \times 2\), тогда \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Таким образом, \(x = \pm 2\sqrt{2}\). Это упрощённая форма корня, которая удобна для дальнейших вычислений и более наглядна.

е) Уравнение \(x^2 = 2,5\) решается аналогично. Извлекаем корень: \(x = \pm \sqrt{2,5}\). Число 2,5 можно представить как \(\frac{25}{10}\) или \(5 \times 0,5\), но удобнее записать \(2,5 = 25 \times 0,1\), тогда

\(x = \pm \sqrt{2,5} = \pm \sqrt{25 \times 0,1} = \pm \sqrt{25} \times \sqrt{0,1} = \pm 5 \sqrt{0,1}\).

Это позволяет выразить корень через более простые множители и облегчает вычисления или упрощение выражения.