ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 316 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:
a) \(16 + x^2 = 0\); в) \(0,5x^2 = 30\); д) \(x^3 — 3x = 0\); е) \(x^3 — 11x = 0\);
б) \(0,3x^2 = 0,027\); г) \(-5x^2 = 20\).

а) \(16 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = -16\)
корней нет

б) \(0,3x^2 = 0,027 \Rightarrow x^2 = 0,09 \Rightarrow x = \pm 0,3\)

в) \(0,5x^2 = 30 \Rightarrow x^2 = 60 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{15}\)

г) \(-5x^2 = \frac{1}{20} \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{100}\)
корней нет

д) \(x^3 — 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 3) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}\)

е) \(x^3 — 11x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 11) = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x^2 = 11 \Rightarrow x = \pm \sqrt{11}\)

а) Начинаем с уравнения \(16 + x^2 = 0\). Чтобы найти \(x\), нужно выразить \(x^2\), для этого переносим число 16 в правую часть со знаком минус: \(x^2 = -16\). Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что решений в множестве действительных чисел нет, записываем ответ как корней нет.

б) Рассмотрим уравнение \(0,3x^2 = 0,027\). Для нахождения \(x^2\) делим обе части уравнения на 0,3: \(x^2 = \frac{0,027}{0,3} = 0,09\). Далее извлекаем квадратный корень из обеих частей: \(x = \pm \sqrt{0,09} = \pm 0,3\). Знак плюс-минус означает два корня: положительный и отрицательный.

в) Уравнение \(0,5x^2 = 30\) решаем путем деления обеих частей на 0,5: \(x^2 = \frac{30}{0,5} = 60\). Далее берем квадратный корень: \(x = \pm \sqrt{60}\). Корень из 60 можно упростить, выделив полный квадрат: \(60 = 4 \times 15\), значит \(x = \pm \sqrt{4 \times 15} = \pm 2\sqrt{15}\).

г) Уравнение \(-5x^2 = \frac{1}{20}\) преобразуем, разделив обе части на \(-5\): \(x^2 = -\frac{1}{100}\). Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, корней нет.

д) Рассмотрим кубическое уравнение \(x^3 — 3x = 0\). Вынесем общий множитель \(x\): \(x(x^2 — 3) = 0\). Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен равняться нулю: либо \(x = 0\), либо \(x^2 — 3 = 0\). Решая \(x^2 — 3 = 0\), получаем \(x^2 = 3\), откуда \(x = \pm \sqrt{3}\). Итого три корня: \(x = 0\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\).

е) Уравнение \(x^3 — 11x = 0\) решаем аналогично: выносим \(x\) за скобки: \(x(x^2 — 11) = 0\). Отсюда либо \(x = 0\), либо \(x^2 — 11 = 0\). Решая \(x^2 = 11\), получаем \(x = \pm \sqrt{11}\). Таким образом, три корня: \(x = 0\), \(x = \sqrt{11}\), \(x = -\sqrt{11}\).