ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 317 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
a) \((x — 3)^2 = 25\); в) \((x — 6)^2 = 7\);
б) \((x + 4)^2 = 9\); г) \((x + 2)^2 = 6\).

а) \((x-3)^2 = 25 \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2} =\) \(= \pm \sqrt{25} \Rightarrow x-3 = 5, \quad x-3 = -5 \Rightarrow x = 8, \quad x = -2.\)
Ответ: \(x = -2, \quad x = 8.\)

б) \((x+4)^2 = 9 \Rightarrow \sqrt{(x+4)^2} =\) \(= \pm \sqrt{9} \Rightarrow x+4 = 3, \quad x+4 = -3 \Rightarrow x = -1, \quad x = -7.\)
Ответ: \(x = -7, \quad x = -1.\)

в) \((x-6)^2 = 7 \Rightarrow \sqrt{(x-6)^2} = \pm \sqrt{7} \Rightarrow x-6 =\) \(= \pm \sqrt{7} \Rightarrow x = \pm \sqrt{7} + 6.\)
Ответ: \(x = \pm \sqrt{7} + 6.\)

г) \((x+2)^2 = 6 \Rightarrow \sqrt{(x+2)^2} = \pm \sqrt{6} \Rightarrow x+2 = \pm \sqrt{6} \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} — 2.\)
Ответ: \(x = \pm \sqrt{6} — 2.\)

а) Уравнение задано в виде квадрата разности: \((x-3)^2 = 25\). Чтобы решить его, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. По определению, если \(a^2 = b\), то \(a = \pm \sqrt{b}\). Применяем это к нашему уравнению: \(\sqrt{(x-3)^2} = \pm \sqrt{25}\), что даёт \(x-3 = \pm 5\). Далее решаем два линейных уравнения: \(x-3 = 5\) и \(x-3 = -5\). Из первого уравнения получаем \(x = 8\), из второго — \(x = -2\). Таким образом, уравнение имеет два корня.

Важным моментом является учёт знака при извлечении квадратного корня, так как квадрат любого числа положителен, а значит исходное выражение могло быть как положительным, так и отрицательным числом. Поэтому и появляются два решения. Итоговый ответ: \(x = -2, \quad x = 8\).

б) Здесь уравнение \((x+4)^2 = 9\) представляет собой квадрат суммы. Аналогично предыдущему случаю, извлекаем корень: \(\sqrt{(x+4)^2} = \pm \sqrt{9}\), откуда \(x+4 = \pm 3\). Решаем два уравнения: \(x+4 = 3\) и \(x+4 = -3\). Из первого находим \(x = -1\), из второго — \(x = -7\). Важно понимать, что квадратное уравнение всегда может иметь два корня, так как возведение в квадрат стирает знак числа. Итог: \(x = -7, \quad x = -1\).

в) Уравнение \((x-6)^2 = 7\) отличается тем, что правая часть не является точным квадратом целого числа. Для решения снова извлекаем корень: \(\sqrt{(x-6)^2} = \pm \sqrt{7}\), значит \(x-6 = \pm \sqrt{7}\). Далее выражаем \(x\): \(x = 6 \pm \sqrt{7}\). Здесь важно сохранять знак «плюс-минус», потому что корень из 7 — иррациональное число, и оба варианта дают разные решения. Таким образом, ответ: \(x = 6 + \sqrt{7}, \quad x = 6 — \sqrt{7}\).

г) В уравнении \((x+2)^2 = 6\) ситуация аналогична предыдущему пункту. Извлекаем корень: \(\sqrt{(x+2)^2} = \pm \sqrt{6}\), откуда \(x+2 = \pm \sqrt{6}\). Решаем относительно \(x\): \(x = -2 \pm \sqrt{6}\). Здесь также важно понять, что квадратное уравнение даёт два значения, поскольку возведение в квадрат устраняет знак. Итоговые корни: \(x = -2 + \sqrt{6}, \quad x = -2 — \sqrt{6}\).