ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 319 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
a) \(3\sqrt{a}\); б) \(-\frac{5}{x}\); в) \(\sqrt{8c}\); г) \(\sqrt{-10b}\)?

а) \(3 \sqrt{a}, \quad \text{при } a \geq 0\)

б) \(-5 \sqrt{x}, \quad \text{при } x \geq 0\)

в) \(\sqrt{8c}, \quad \text{при } c \geq 0\)

г) \(\sqrt{-10b}, \quad \text{при } b \leq 0\)

а) Выражение \(3 \sqrt{a}\) означает, что мы умножаем число 3 на квадратный корень из переменной \(a\). Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным для существования вещественного корня, вводится условие \(a \geq 0\). Это ограничение гарантирует, что значение под корнем не будет отрицательным, а значит, корень будет определён в множестве вещественных чисел. При \(a = 0\) корень равен нулю, и выражение принимает значение 0.

Квадратный корень из \(a\) обозначается как \(\sqrt{a}\) и определяется как такое число, которое при возведении в квадрат даёт \(a\). Умножение на 3 не меняет области определения, но масштабирует результат. Таким образом, итоговое выражение корректно и определено при \(a \geq 0\), что важно учитывать при решении задач, связанных с этим выражением.

б) В выражении \(-5 \sqrt{x}\) знак минус перед числом 5 означает, что результат будет отрицательным числом, умноженным на корень из \(x\). Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение \(x\) должно быть неотрицательным, чтобы корень существовал в вещественных числах, поэтому условие \(x \geq 0\) обязательно. При \(x = 0\) корень равен нулю, и выражение принимает значение 0.

Знак минус влияет на знак результата, но не меняет область определения корня. Корень \(\sqrt{x}\) всегда неотрицателен при \(x \geq 0\), поэтому произведение с -5 будет не положительным числом. Это важно учитывать при анализе знака выражения и его значений на заданной области.

в) Выражение \(\sqrt{8c}\) содержит подкоренное выражение \(8c\). Для того чтобы корень был определён в вещественных числах, необходимо, чтобы \(8c \geq 0\). Поскольку 8 — положительное число, условие сводится к \(c \geq 0\). Это означает, что переменная \(c\) должна быть неотрицательной.

Корень \(\sqrt{8c}\) можно представить как \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{c}\), где \(\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}\). Такое разложение полезно для упрощения выражений, но область определения зависит только от \(c\). При \(c = 0\) корень равен нулю, а при увеличении \(c\) значение выражения растёт.

г) В выражении \(\sqrt{-10b}\) подкоренное выражение \(-10b\) должно быть неотрицательным, чтобы корень существовал в вещественных числах. Это накладывает условие \(-10b \geq 0\). Делая перенос, получаем \(b \leq 0\), так как при делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Таким образом, переменная \(b\) должна быть меньше или равна нулю. Это условие обеспечивает, что произведение \(-10b\) неотрицательно и корень определён. При \(b = 0\) значение подкоренного выражения равно нулю, и корень равен нулю. При \(b < 0\) выражение под корнем положительно, что позволяет вычислить корень.