ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 320 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение:
а) \(\sqrt{2x}\);
б) \(\sqrt{-x}\)?

а) \(\sqrt{2x}, \quad при \quad x \geq 0\)

б) \(\sqrt{-x}, \quad при \quad x \leq 0\)

а) Корень квадратный из выражения \(2x\) записывается как \(\sqrt{2x}\). Для того чтобы корень был определён в множестве действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(2x \geq 0\). Поскольку множитель 2 положителен, условие сводится к \(x \geq 0\). Это значит, что функция \(\sqrt{2x}\) существует и определена только для значений \(x\), больших либо равных нулю. Если \(x < 0\), то подкоренное выражение отрицательно, и корень из отрицательного числа в действительных числах не существует. Далее, чтобы вычислить значение \(\sqrt{2x}\), достаточно подставить конкретное значение \(x \geq 0\) и извлечь корень. Например, при \(x = 0\) результат будет равен 0, а при \(x = 1\) — \(\sqrt{2}\). При этом важно помнить, что знак корня по определению неотрицателен, то есть \(\sqrt{2x} \geq 0\). б) Корень квадратный из выражения \(-x\) записывается как \(\sqrt{-x}\). Для существования корня в действительных числах подкоренное выражение \(-x\) должно быть неотрицательным, то есть \(-x \geq 0\). Это неравенство эквивалентно \(x \leq 0\), так как при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, функция \(\sqrt{-x}\) определена только для значений \(x\), меньших либо равных нулю. Если \(x > 0\), подкоренное выражение становится отрицательным, и корень в действительных числах не существует. При \(x = 0\) значение функции равно 0, а при отрицательных \(x\), например \(x = -1\), подкоренное выражение будет равно 1, и корень равен 1.

В обоих случаях важна область определения функции, которая задаёт допустимые значения переменной \(x\), чтобы выражение под корнем было неотрицательным, и корень существовал в множестве действительных чисел.