ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 322 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \((\sqrt{7})^2\);
б) \((-\sqrt{26})^2\);
в) \(-2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}\);
г) \((3\sqrt{5})^2\);
д) \(0,5(-\sqrt{8})^2\);
е) \((-2\sqrt{15})^2\);
ж) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\);
з) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right)^2\).

а) \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\)

б) \(\left(-\sqrt{26}\right)^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{26})^2 = 26\)

в) \(-2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = -2 \cdot 14 = -28\)

г) \(\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45\)

д) \(0{,}5 \cdot \left(-\sqrt{8}\right)^2 = 0{,}5 \cdot 8 = 4\)

е) \(\left(-2\sqrt{15}\right)^2 = 4 \cdot 15 = 60\)

ж) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0{,}75\)

з) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\)

а) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt{7}\right)^2\). По определению, возведение квадратного корня в квадрат приводит к уничтожению корня, так как \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\), и при возведении в квадрат степень умножается на 2: \(\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a\). Здесь \(a = 7\), значит, \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\).

Это свойство позволяет упростить выражение, избавившись от корня, что часто используется для упрощения алгебраических выражений и решения уравнений.

Таким образом, результат равен \(7\).

б) Рассмотрим \(\left(-\sqrt{26}\right)^2\). Здесь внутри скобок стоит отрицательное число, умноженное на корень. При возведении в квадрат знак минус также возводится в квадрат, а \((-1)^2 = 1\), поэтому знак минус исчезает.

Далее, возводим в квадрат корень: \(\left(\sqrt{26}\right)^2 = 26\). Следовательно, \(\left(-\sqrt{26}\right)^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{26})^2 = 1 \cdot 26 = 26\).

Итоговое значение равно \(26\).

в) В выражении \(-2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}\) произведение корней с одинаковым подкоренным числом равно самому числу: \(\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 14\).

Умножая на коэффициент \(-2\), получаем \(-2 \cdot 14 = -28\).

Таким образом, результат равен \(-28\).

г) Рассмотрим \(\left(3\sqrt{5}\right)^2\). При возведении произведения в степень квадрат нужно возвести в квадрат каждый множитель: \(3^2 = 9\) и \(\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5\).

Перемножая, получаем \(9 \cdot 5 = 45\).

Ответ: \(45\).

д) Выражение \(0{,}5 \cdot \left(-\sqrt{8}\right)^2\) содержит коэффициент \(0{,}5\) и квадрат отрицательного корня.

При возведении в квадрат минус исчезает, так как \((-1)^2 = 1\), а \(\left(\sqrt{8}\right)^2 = 8\).

Следовательно, \(\left(-\sqrt{8}\right)^2 = 8\).

Умножаем: \(0{,}5 \cdot 8 = 4\).

Итог: \(4\).

е) В выражении \(\left(-2\sqrt{15}\right)^2\) квадратируем произведение.

Квадрат минуса даёт плюс: \((-2)^2 = 4\).

Квадрат корня: \(\left(\sqrt{15}\right)^2 = 15\).

Перемножая, получаем \(4 \cdot 15 = 60\).

Ответ: \(60\).

ж) Рассмотрим \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\). Возводим в квадрат числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\).

Знаменатель: \(2^2 = 4\).

Дробь становится \(\frac{3}{4}\) или десятичной \(0{,}75\).

з) В выражении \(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right)^2\) возводим в квадрат дробь.

Квадрат числителя: \(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\).

Квадрат знаменателя: \(\left(\sqrt{6}\right)^2 = 6\).

Получаем \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), что равно \(0{,}5\).